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== 摘要 ==
* '''原文标题'''：A fast and memoryless numerical method for solving fractional differential equations
* '''中文标题'''：求解分数阶微分方程的快速无记忆数值方法
* '''发布日期'''：2025-06-04 17:36:01+00:00
* '''作者'''：Nicola Guglielmi, Ernst Hairer
* '''分类'''：math.NA, cs.NA, math.DS, 26A33, 34A08, 65L06, 45D05, 65F05
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/2506.04188v1
'''中文摘要'''：摘要：隐式和刚性[[微分方程]]的数值求解已通过隐式[[数值积分器]]得到广泛研究，科学界存在许多优秀的高效代码（如基于[[Radau点]][[Runge-Kutta配置方法]]的[[Radau5]]，以及基于[[后向差分公式]]的[[Dassl]]等）。当求解[[分数阶常微分方程]]（[[ODEs]]）时，[[导数算子]]被[[非局部算子]]替代，分数阶[[ODE]]被重构为[[Volterra积分方程]]，这些代码无法直接适用。
本文是作者先前关于[[分布时滞微分方程]]研究（[[Guglielmi]]和[[Hairer]]，[[SISC]]，2025）的后续工作。核心思想是将分数阶[[核函数]]$t^{\alpha -1}/ \Gamma (\alpha )$（$\alpha >0$）近似为[[指数函数]]之和或[[单项式]]乘[[指数函数]]之和，进而将（[[卷积型]]）[[分数阶积分]]转化为一组[[常微分方程]]。该[[增广系统]]通常具有[[刚性]]，需采用[[隐式方法]]求解，其维度可能极大且需对产生的[[线性系统]]进行特殊处理。
本研究提出了一种用[[指数函数]]和构造[[分数阶核]]近似的算法，并展示了如何在刚性[[时间积分器]]中高效求解产生的[[线性系统]]。文中阐释了如何利用[[Radau5]]代码求解[[分数阶微分方程]]，数值实验验证了所提方法的精度与效率。驱动示例可从作者主页公开获取。