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* '''标题'''：Minimal cover of high-dimensional chaotic attractors by embedded recurrent patterns
* '''中文标题'''：高维混沌吸引子的最小覆盖嵌入的不稳定重复模式
* '''发布日期'''：2016-07-07 22:00:56+00:00
* '''作者'''：Daniel L. Crane, Ruslan L. Davidchack, Alexander N. Gorban
* '''分类'''：nlin.CD
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/1607.02180v3
'''摘要'''：我们提出了一种通用方法，用嵌入的不稳定重复模式来构造高维混沌吸引子的最小覆盖。所谓的最小覆盖是指可用模式的子集，使得预定义接近阈值的混沌动力学的最小覆盖近似与全套可用集合的近似一样好。基于有向Hausdorff距离概念的接近度测量，可以自由选择并适应给定混沌系统的属性。在周期域上的Kuramoto-Sivashinsky系统的时空混沌吸引子的背景下，我们证明即使接近度测量在维数远小于包含吸引子的空间的子空间内定义，也可以忠实地构造最小覆盖。我们讨论了如何使用最小覆盖来提供吸引子结构和其上动力学的简化描述。

== 问题与动机 ==
作者面对的研究问题包括：
* 如何构建一个[[高维混沌吸引子]]的[[最小覆盖]]？
* 如何使用嵌入的[[不稳定周期轨道]]或其他不变结构来描述[[高维混沌动力学]]？
* 如何在[[低维投影]]中可靠地构建混沌吸引子的最小覆盖？
* 如何通过最小覆盖集来近似[[混沌轨迹]]？
* 如何基于最小覆盖集中的模式构建[[马尔可夫型模型]]？

== 背景介绍 ==
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
# '''[[高维混沌吸引子的最小覆盖]]'''
#* [[混沌吸引子]]的不稳定周期轨道是其结构的基础，较短的轨道提供了整体结构，而较长的轨道则在更小的邻域内细化了这个骨架。
#* 这种属性最早由[[庞加莱猜想]]提出，即任何动力系统的运动都可以通过周期型的运动来近似。
#* 对于低维系统，这种方法取得了相当的成功，并发展出了[[周期轨道理论]]。
#* 然而，当吸引子的维度很大时（具有几个正的[[李雅普诺夫指数]]），即使是定性描述吸引子的结构也变得具有挑战性。
# '''[[高维混沌系统的周期轨道定位]]'''
#* 最近几年，在高维混沌系统中定位周期轨道和其他类型的复发模式方面取得了显著进展。
#* 例如，Lopez等人提出了一种寻找具有连续对称性的微分方程的相对周期解的方法，并用此方法找到了复杂[[Ginzburg-Landau方程]]的相对周期解。
#* Hof等人在湍流管流中发现了行波的实验证据，与Faisst和Eckhardt的数值研究一致。
#* Zoldi和Greenside使用阻尼-牛顿方法在[[Kuramoto-Sivashinsky (KS) 方程]]中找到了不稳定的周期轨道。
#* Cvitanovic等人使用多重射击和[[Levenberg-Marquardt算法]]在周期域的KS方程中定位了超过60,000个不稳定的复发模式。
# '''[[混沌吸引子结构的描述]]'''
#* 越来越多的研究试图用嵌入的不稳定周期轨道或其他不变结构来描述高维混沌动力学。
#* 对于弱湍流流动，例如Kawahara等人的工作，Chandler和Kerswell的工作，Budanur等人的工作，Graham和Floryan的工作。
#* 更抽象的模型，如Maiocchi等人对[[Lorenz’96模型]]的研究。
#* 一般来说，了解复发结构可以用于开发模型简化和粗粒化方法来表示复杂的高维动力系统，例如通过[[马尔可夫链]]、[[符号动力学]]、[[主曼ifold]]、[[多尺度建模]]等。
# '''[[大量复发模式的信息利用]]'''
#* 鉴于在给定的混沌系统中检测到了大量的复发模式，很明显数据中存在大量的冗余：在相空间中彼此“接近”的复发模式包含了关于吸引子在其邻域内结构和动力学的相似信息。
#* 这引出了如何选择一个代表性的小的复发模式子集，这些模式子集提供了与完整可用集合相同的关于吸引子的信息。
综上所述，这篇文献的背景强调了在高维混沌系统中，如何利用周期轨道和其他复发模式的信息来描述吸引子的结构和动力学。

== 章节摘要 ==
这篇论文提出了一种构建[[高维混沌吸引子]]的[[最小覆盖]]的方法，通过嵌入的不稳定的周期性模式。主要内容包括：

# '''引言'''：
#* 描述了不稳定周期轨道是混沌吸引子的骨架，短周期轨道给出整体结构，长周期轨道在更小的邻域内细化这个骨架。
#* 引用了[[Poincaré]]的猜想，即任何动态系统的运动都可以通过周期型的运动来近似。
#* 讨论了在高维系统中寻找周期轨道和其他类型的循环模式的进展。

# '''最小覆盖构造算法'''：
#* 定义了最小覆盖为可用模式的一个子集，使得用最小覆盖来近似混沌动力学与用全部可用集合近似一样好。
#* 提出了一种算法来构建最小覆盖，该算法基于预定义的接近度阈值。
#* 讨论了如何定义循环模式之间的“接近度”或“邻近性”。

# '''[[Kuramoto-Sivashinsky方程]]'''：
#* 展示了如何将提出的方法应用于Kuramoto-Sivashinsky方程的时空混沌吸引子。
#* 描述了KS方程及其在研究时空混沌动态系统中的应用。
#* 讨论了如何使用傅里叶模式的幅度作为对称不变的坐标来构建最小覆盖。

# '''最小覆盖的KS吸引子'''：
#* 描述了如何使用KS方程的傅里叶模式幅度来构建最小覆盖。
#* 展示了即使在定义接近度度量的子空间的维度远小于包含吸引子的空间的维度时，也可以忠实地构建最小覆盖。
#* 讨论了如何使用最小覆盖来提供吸引子结构和其上动力学的简化描述。

# '''混沌吸引子的阴影化'''：
#* 讨论了如何将混沌轨迹表示为由最小覆盖中的循环模式阴影化的轨迹序列。
#* 描述了“贪婪”表示法，即从所有在2ε4范围内的循环模式中，选择与混沌轨迹段最长时间保持在2ε4内的模式。

# '''[[马尔可夫模型]]近似'''：
#* 讨论了如何使用最小覆盖来近似动态为马尔可夫过程。
#* 描述了构建转移概率矩阵的方法，并分析了模型的属性，包括无记忆属性和稳态分布。

# '''冗余'''：
#* 讨论了在构建最小覆盖时可能出现的冗余，并提出了一种方法来消除这些冗余。

# '''总结'''：
#* 总结了构建高维混沌吸引子的最小覆盖的一般方法。
#* 讨论了最小覆盖在降低构建复杂性和计算成本方面的潜力。
#* 提出了最小覆盖不仅可以基于循环模式，还可以基于混沌吸引子的任何方便的轨迹段集。