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* '''标题'''：On the multiple Borsuk numbers of sets
* '''中文标题'''：关于集合的多重Borsuk数
* '''发布日期'''：2012-06-05 12:02:00+00:00
* '''作者'''：M. Hujter, Z. Lángi
* '''分类'''：math.MG, math.CO, 52C17, 05C15, 52C10
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/1206.0892v2
'''摘要'''：Borsuk数是欧几里得n空间中直径d>0的集合S的最小值m，使得S可以被划分为直径小于d的m个集合。我们的目标是以以下方式推广这个概念：这样一个集合S的k倍Borsuk数是最小的m值，使得S有一个由直径小于d的m个集合组成的k倍覆盖。在本文中，我们描述了欧几里得平面中集合的k倍Borsuk数，给出了中心对称集、光滑体和常宽凸体的上下界，并且检查了欧几里得3空间中有限点集的k倍Borsuk数。

== 问题与动机 ==
作者的研究问题包括：
* 如何定义并研究[[集合]]的k重[[Borsuk数]]？
* 在[[欧几里得平面]]中，集合的k重Borsuk数有何特性？
* 对于具有特定对称性的集合，如[[中心对称集合]]、[[平滑体]]和[[常宽凸体]]，k重Borsuk数的界限是什么？
* 在[[欧几里得3维空间]]中，[[有限点集]]的k重Borsuk数如何表现？
* 对于具有大的k重Borsuk数的集合，以及具有非平凡[[对称群]]的集合，其k重Borsuk数有何特点？

== 背景介绍 ==
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
# '''Borsuk数的概念与历史'''：
#* [[Borsuk数]]是[[离散几何学]]中的一个基本概念，起源于Borsuk在1933年提出的一个猜想。
#* 该猜想认为，在[[欧几里得空间]]中，任意直径为d的集合可以被分割成n+1个子集，每个子集的直径都小于d。
#* 尽管这个猜想在1993年被Kahn和Kalai证明是错误的，但Borsuk数的研究仍然是离散几何学中的一个重要问题。
# '''Borsuk问题的推广'''：
#* 从20世纪30年代开始，Borsuk问题激发了许多研究者的兴趣，并导致了多个特殊情况下的结果。
#* 例如，在二维和三维空间中的集合、具有某些对称性的集合或平滑体等。
#* 此外，Borsuk问题也被推广到了不同的度量空间，如有限维的赋范空间或使用[[Hamming距离]]的二进制码。
# '''k重Borsuk数的引入'''：
#* 作者提出了k重Borsuk数的概念，这是Borsuk数的一个自然推广。
#* 对于一个直径为d的集合S，k重Borsuk数是最小的正整数m，使得存在一个k重覆盖，由m个子集组成，每个子集的直径都严格小于d。
#* 这个新概念为Borsuk问题的研究提供了新的视角，并引发了一系列未解决的问题。
# '''研究目标与方法'''：
#* 本文的目标是研究k重Borsuk数在欧几里得空间中集合的性质。
#* 作者首先对平面集合的k重Borsuk数进行了表征，并给出了平滑体、中心对称集合和常宽凸体的k重Borsuk数的界限。
#* 此外，作者还探讨了三维空间中有限点集的k重Borsuk数，特别是那些具有大的k重Borsuk数的集合，以及那些具有非平凡对称群的集合。
综上所述，这篇文献的背景强调了Borsuk数在离散几何学中的重要性，以及k重Borsuk数这一新概念如何为Borsuk问题的研究提供新的视角和挑战。

== 章节摘要 ==
这篇论文是关于[[欧几里得空间]]中[[集合]]的多重[[Borsuk数]]的研究，其主要内容可以概括如下：
# '''引言'''：介绍了[[Borsuk问题]]的历史背景和研究进展，以及Borsuk数的一般化定义，即k重Borsuk数。讨论了Borsuk数在[[离散几何学]]中的重要性，并提出了本文的研究目标和方法。
# '''多重Borsuk数的定义和初步观察'''：
#* 定义了k重Borsuk数，并讨论了其与原Borsuk问题的关系。
#* 提出了几个关于k重Borsuk数的初步观察和性质，包括子加性、下界估计和边界关系。
# '''欧几里得平面上的集合'''：
#* 利用[[Boltyanskii]]的结果，给出了平面集合的Borsuk数的刻画。
#* 证明了对于具有常宽凸体的平面集合，其k重Borsuk数与常宽凸体的k重Borsuk数相同。
#* 讨论了[[Reuleaux多边形]]的k重Borsuk数。
# '''中心对称集合和光滑体'''：
#* 讨论了中心对称集合和光滑体的k重Borsuk数，并给出了与欧几里得n-球的k重Borsuk数的比较。
#* 证明了对于这些集合，其k重Borsuk数不超过n-球的k重Borsuk数。
# '''欧几里得3空间中的有限点集'''：
#* 研究了3维空间中有限点集的k重Borsuk数，并提出了寻找具有特定k重Borsuk数的点集的问题。
#* 给出了具有大k重Borsuk数的点集的性质，以及具有非平凡对称群的点集的k重Borsuk数。
#* 提出了关于有限点集的k重Borsuk数的猜想和问题。
# '''对称有限点集的Borsuk数'''：
#* 探讨了具有非平凡对称群的有限点集在3维空间中的Borsuk数。
#* 证明了如果点集的对称群包含正四面体的对称群，则其直径图包含K4作为子图。
#* 提出了关于对称点集的Borsuk数和直径图性质的问题。
# '''额外的评论'''：
#* 对于n维集合的Borsuk数，提出了关于其渐近行为的问题。
#* 提出了关于k重Borsuk数和n维集合Borsuk数之间关系的猜想。