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* '''标题'''：Uniqueness Results for Bodies of Constant Width in the Hyperbolic Plane
* '''中文标题'''：在双曲平面中的常宽体的唯一性结果
* '''发布日期'''：2019-10-22 21:59:04+00:00
* '''作者'''：M. Angeles Alfonseca, Michelle Cordier, Dan I. Florentin
* '''分类'''：math.MG, 28A75, 51M09, 51M10, 51M25, 51F99, 52A38, 52A55, 53A35
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/1910.10248v1
'''摘要'''：遵循Santal\'{o}的方法，我们证明了在给定测地线族上，常宽体、常投影长度或常截面长度的圆盘有几种特性。

== 问题与动机 ==
作者的研究问题包括：
* 在[[双曲平面]]中，是否存在两个不同的[[凸体]]具有相同的[[投影]]（或[[截面]]）？
* 在双曲平面中，一个具有恒定投影或截面的凸体是否一定是一个[[圆盘]]？
* 在双曲平面中，一个具有恒定[[宽度]]的凸体是否具有恒定的投影长度？
* 在双曲平面中，一个具有恒定宽度的凸体是否具有恒定的截面长度？
* 在双曲平面中，一个凸体的宽度与其在给定[[家族]]的[[测地线]]上的投影长度是否捕捉了不同的信息？
* 在双曲平面中，具有恒定宽度的凸体是否具有恒定的投影长度？
* 在双曲平面中，如何定义一个凸体的[[支撑函数]]？
* 在双曲平面中，如何唯一地从投影长度重构一个凸体？

== 背景介绍 ==
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
# '''几何层析成像在双曲平面中的应用'''：
#* [[几何层析成像]]是研究如何从低维信息（如截面或投影的面积）重建凸体的主要问题之一。
#* [[Aleksandrov定理]]表明，在[[欧几里得空间]]中，一个原点对称的凸体可以通过其投影的(n-1)维体积唯一确定。
#* 本文关注的是[[双曲平面]]H2中的重建问题，特别是唯一性问题，即是否存在两个具有相同投影（或截面）的凸体K和L。
# '''双曲平面中常宽体的研究'''：
#* 在[[双曲空间]]中，常宽体的概念与欧几里得空间不同，例如，双曲平面中的常宽体不一定在每条线上都有恒定的投影长度。
#* 文献中已经研究了双曲空间中的常宽体，并建立了一些与欧几里得结果相似的性质。
#* 本文通过研究双曲平面中凸体的截面或投影，来研究常宽体的性质。
# '''双曲平面中凸体的截面和投影'''：
#* 研究了双曲空间中凸体的截面问题，与[[Busemann-Petty问题]]相关。
#* 本文特别考虑了通过给定点的所有线上的截面或投影来研究常宽体。
综上所述，这篇文献的背景强调了在双曲平面中，从低维信息重建凸体的问题，以及常宽体在双曲几何中的独特性质和应用。

== 章节摘要 ==
这篇论文是关于[[双曲平面]]中[[恒宽体]]的唯一性研究，论文的主要内容可以概括如下：
# 引言
## [[几何层析学]]中的主要问题之一是从定量的低维信息（如截面或投影的面积）重建[[凸体]]。[[Aleksandrov定理]]是该领域的一个主要结果，证明了在[[Rn]]中，一个原点对称的凸体可以通过其投影的(n-1)维体积唯一确定。

# 定义和符号
## 论文在双曲平面[[H2]]的[[Poincaré圆盘模型]]和[[Poincaré上半平面模型]]中交替工作。定义了双曲平面的一些基本事实，例如两个点之间存在唯一的[[测地线]]，以及两种模型都是[[保角]]的。

# 辅助引理
## 论文陈述了一些关于双曲平面中凸体及其正交投影的基本度量事实。例如，一个凸体等于包含它的所有半平面的交集。

# 唯一重建结果
## 论文证明了圆盘在H2中可以通过以下任意两个属性唯一表征：
#* 原点对称性。
#* 恒宽。
#* 通过给定点的所有线上的恒定投影长度。
#* 通过给定点的所有线上的恒定截面长度。

# 附录
## 论文展示了一个双曲[[Reuleaux三角形]]具有恒宽但不是恒定的截面和投影长度。

== 研究方法 ==
这篇论文通过在[[双曲平面]]上研究[[凸体]]的[[几何特性]]，探讨了[[常宽体]]、[[常投影长度]]和[[常截面长度]]的性质。以下是该研究方法论的主要组成部分：
# '''几何特性定义与符号建立'''：
#* 在双曲平面H2上定义了凸体、常宽体、常投影长度和常截面长度等基本概念。
#* 引入了双曲平面的[[Poincaré圆盘模型]]和[[上半平面模型]]，以及相关的符号和术语。
# '''凸体的几何性质分析'''：
#* 利用[[双曲几何]]中的角度、垂直性和支撑双曲线等性质，分析了凸体的边界和支撑双曲线。
#* 研究了常宽体的边界上所有法双曲线都是双法线的性质。
#* 通过凸体的直径和最大宽度之间的关系，探讨了凸体的几何特性。
# '''辅助引理的证明'''：
#* 证明了凸体可以表示为包含它的所有半平面的交集。
#* 通过构造具体的例子，展示了在双曲平面上，具有相同投影长度的非全等凸体的存在。
#* 利用[[Santaló引理]]，证明了常宽凸体的任意两条法线在凸体内部相交。
# '''主要定理的证明'''：
#* 证明了如果一个凸体是原点对称且具有常宽，则它必然是一个圆盘。
#* 证明了如果一个凸体具有常宽，并且所有通过原点的双曲线上的投影长度都相等，则它必然是一个圆盘。
#* 探讨了在双曲平面上，常宽体不一定具有常投影长度的性质，这与[[欧几里得平面]]的情况不同。
#* 通过反例，展示了即使在双曲平面上，具有常宽的凸体也可能不具有常投影长度。
# '''双曲平面上的特殊构造'''：
#* 构造了具有常宽但不同投影长度的双曲[[Reuleaux三角形]]。
#* 通过计算，展示了双曲Reuleaux三角形的宽度和在特定双曲线上的投影长度。
#* 讨论了如何通过微扰圆盘构造具有常宽但投影长度不恒定的C1光滑体。
这篇论文的方法论分析结果表明，在双曲平面上，圆盘是唯一满足常宽和常投影长度的凸体，这一发现对于理解双曲几何中的凸体特性具有重要意义。