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* '''标题'''：Body of constant width with minimal area in a given annulus
* '''中文标题'''：在给定环形中具有最小面积的常宽体
* '''发布日期'''：2020-04-22 21:11:34+00:00
* '''作者'''：Antoine Henrot, Ilaria Lucardesi
* '''分类'''：math.MG, math.OC, 52A10, 49Q10, 49Q12, 52A38
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/2004.10865v2
'''摘要'''：在本文中，我们解决了以下形状优化问题：在预设定的常宽度和内半径的集合中，寻找面积最小的平面域。在文献中，这个问题被归因于Bonnesen，他在文献{BF}中提出了这个问题。在当前的工作中，我们为每一个宽度和内半径的选择提供了问题的完整答案，给出了最优集合的明确特征。这些最优集合是特定的Reuleaux多边形。

== 问题与动机 ==
作者的研究问题包括：
* 如何在给定的[[圆环]]中找到具有最小[[面积]]的[[等宽体]]？
* 对于不同的[[宽度]]和内[[半径]]选择，最优集合的显式特征是什么？
* 如何证明[[Bonnesen]]关于在给定圆环中最小化面积的猜想？
* [[Reuleaux多边形]]在等宽体中最小化面积问题中的作用是什么？
* 如何描述具有给定内半径的等宽体的最优形状？
* 如何证明关于等宽体最小面积问题的猜想，并提供更精确的结果？

== 背景介绍 ==
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
# '''常宽体的几何特性'''：
#* [[常宽体]]（也称作[[欧拉体]]或[[Reuleaux体]])是一类在每个方向上具有相同宽度的[[几何形状]]，这类形状在[[数学]]和[[工程学]]中具有重要的应用。
#* 这类形状因其独特的几何性质，如在给定宽度下最小化[[面积]]的问题，而受到广泛关注。
# '''面积最小化问题的历史'''：
#* 历史上，[[Blaschke-Lebesgue定理]]是关于常宽体中面积最小化问题的一个著名结果，它表明[[Reuleaux三角形]]在所有常宽体中具有最小的面积。
#* 该问题由[[Bonnesen]]提出，并在文献[3]中进行了讨论，但之前没有给出完整的解答。
# '''给定内半径和宽度的优化问题'''：
#* 本文研究了在给定内半径和宽度的条件下，寻找具有最小面积的平面域的问题。
#* 这个问题在[[数学优化]]和[[几何分析]]中具有挑战性，因为它涉及到在特定约束条件下寻找最优几何形状。
# '''Reuleaux多边形的特性'''：
#* [[Reuleaux多边形]]是一类特殊的常宽体，其边界由圆形弧段组成，这些弧段的中心位于边界点。
#* 这类多边形在解决最小化问题时具有特殊的重要性，因为它们在满足给定宽度和内半径的条件下，可能形成最优解。
综上所述，这篇文献的背景强调了在给定几何约束下，寻找具有最小面积的常宽体的[[数学问题]]，以及这类问题在理论和应用中的重要性。

== 章节摘要 ==
这篇论文是关于在给定的[[圆环]]内寻找具有最小面积的[[等宽体]]的研究，主要内容包括：
# '''引言'''：
#* 等宽体（也称为[[欧拉体]])是一类有趣的[[几何对象]]，有许多文献专门研究它们。
#* 著名的[[Blaschke-Lebesgue定理]]表明，在所有等宽体中，[[Reuleaux三角形]]的面积最小。
#* 作者提出了一个与等宽体相关的[[优化问题]]：在给定的圆环内，寻找具有规定等宽和内半径的平面域，使其面积最小。

# '''预备知识与Blaschke变形'''：
#* 定义了[[凸体]]、等宽和内半径的概念，并证明了最小化问题的存在性。
#* 回顾了Reuleaux多边形的定义，并介绍了[[Blaschke变形]]的概念。

# '''刚性形状'''：
#* 引入了刚性形状的概念，即不能通过Blaschke变形减小面积的形状。
#* 定义了极值弧和簇的概念，并给出了刚性形状的特征。

# '''证明定理1.2和命题1.4'''：
#* 证明了在Reuleaux多边形类中面积最小化问题有解，并描述了最优形状。
#* 证明了当内半径r在特定区间内变化时，最小面积A(r)是连续的，并且最优形状也随之连续变化。