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* '''标题'''：Approximation of Spherical Bodies of Constant Width and Reduced Bodies
* '''中文标题'''：常宽球体和约化体的近似
* '''发布日期'''：2021-05-31 22:11:14+00:00
* '''作者'''：Marek Lassak
* '''分类'''：math.MG, 52A55
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/2106.00118v2
'''摘要'''：我们提出了 Blaschke 定理的球面版本，即任何宽度为 $w < \frac{\pi}{2}$ 的恒宽体都可以在 Hausdorff 距离意义上被一个只由半径为 $w$ 的圆弧构成的恒宽体尽可能好地逼近。这是我们关于球面约化体逼近定理的一个特例。

== 问题与动机 ==
作者的研究问题包括：
* 如何将平面上的[[Blaschke定理]]推广到[[球面]]上？
* 如何在球面上定义和构造具有恒定宽度的[[凸体]]？
* 如何在球面上定义和构造[[简化体]]？
* 如何在球面上近似具有恒定宽度的凸体和简化体？
* 如何在球面上测量和比较凸体之间的[[距离]]？
* 如何在球面上构造具有特定[[几何属性]]的凸体？

== 背景介绍 ==
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
# '''球面几何中的凸体近似问题'''：
#* 研究[[球面]]上的[[凸体]]，特别是具有恒定[[宽度]]的凸体，以及它们的近似问题。
#* 探讨了在[[球面几何]]中，如何通过具有特定属性的凸体来逼近给定的凸体。
# '''Blaschke定理的球面版本'''：
#* [[Blaschke定理]]指出，在[[欧几里得平面]]中，任何具有恒定宽度的凸体都可以被一系列边界仅由半径等于该宽度的[[圆弧]]组成的凸体逼近。
#* 本文提出了Blaschke定理在球面几何中的一个版本，即任何球面上的具有恒定宽度的凸体都可以被具有相同宽度的凸体逼近，这些凸体的边界仅由圆弧组成。
# '''球面几何中凸体的宽度和简化体的概念'''：
#* 讨论了球面凸体的宽度定义及其性质，以及如何确定一个凸体是否具有恒定宽度。
#* 引入了球面简化体的概念，并探讨了其基本性质。
# '''球面几何中的Hausdorff距离'''：
#* 在球面几何中，使用[[Hausdorff距离]]来量化两个凸体之间的接近程度。
#* 讨论了如何通过控制Hausdorff距离来实现凸体的逼近。
# '''球面几何中凸体的边界结构'''：
#* 分析了球面凸体的边界结构，特别是那些具有恒定宽度或简化性质的凸体。
#* 探讨了如何通过边界结构来构建逼近凸体。
综上所述，这篇文献的背景强调了在球面几何中对凸体进行逼近的重要性和方法，特别是在具有恒定宽度和简化性质的凸体的背景下。

== 章节摘要 ==
这篇论文是关于[[球体几何]]中[[恒宽体]]和[[简化体]]的逼近问题的研究，论文的主要内容可以概括如下：
# '''引言'''：介绍了[[Blaschke定理]]在[[欧几里得平面]]上的一个版本，该定理表明任何恒宽凸体都可以用仅由半径为该宽度的圆弧组成的凸体来逼近。论文提出了这个定理在[[球面]]S2上的一个类似版本。
# '''球面几何的辅助事实'''：
#* 定义了球面S2上的基本几何概念，如[[大圆]]、[[对跖点]]、[[球冠]]、[[球面凸集]]等。
#* 提出了一个引理，如果一个闭集在每个边界点都被半球支撑，则该集合是凸的。
#* 讨论了球面凸体的[[极点]]、[[月牙形]]和[[厚度]]的概念。
# '''球面上的简化体'''：
#* 定义了球面简化体的概念，即对于任何子集Z，如果Z是凸体且∆(Z) < ∆(R)，则称R为简化体。
#* 讨论了简化体的基本性质，并引用了相关文献中对简化体边界结构的描述。
#* 提出了一个定理，对于任何厚度小于π/2的简化体R，存在一个简化体Rε，其边界仅由[[蝴蝶形]]的臂和半径为∆(R)的圆弧组成，使得Rε和R之间的[[Hausdorff距离]]最多为ε。
# '''简化体的逼近'''：
#* 详细描述了构造Rε的过程，包括如何用圆弧替换R的边界上的曲线对。
#* 证明了Rε是一个凸体，并且具有与R相同的厚度。
#* 证明了Rε是一个简化体，并且与R的Hausdorff距离最多为ε。
#* 提出了一个推论，对于任何恒宽体W，存在一个具有相同厚度的恒宽体Wε，其边界仅由半径为∆(W)的圆弧组成，使得W和Wε之间的Hausdorff距离最多为ε。
# '''参考文献'''：列出了用于撰写论文的相关文献。

== 研究方法 ==
这篇论文通过综合分析[[球面几何]]、[[凸体理论]]和[[Hausdorff距离]]，探讨了球面上的常宽体和约简体的近似问题。以下是该研究方法论的主要组成部分：
# '''球面几何基础'''：
#* 定义了球面几何中的关键概念，如[[大圆]]、[[对跖点]]、[[球面距离]]和[[球面凸集]]。
#* 引入了球面凸体的支撑概念，包括[[支撑半球]]和[[支撑月牙形]]。
#* 讨论了球面凸体的宽度定义及其与支撑半球的关系。
# '''凸体理论应用'''：
#* 利用凸体理论分析了球面上的常宽体和约简体的性质。
#* 引入了球面上的常宽体和约简体的边界结构。
#* 证明了球面上的凸体可以被一系列更简单的几何形状（如月牙形和弧线）所逼近。
# '''Hausdorff距离计算'''：
#* 使用Hausdorff距离来量化两个凸体之间的接近程度。
#* 通过构造一系列逼近凸体来证明给定的凸体可以被具有相同宽度的简单凸体逼近。
#* 证明了逼近凸体的边界由月牙形的臂和半径为常数的圆弧组成。
# '''构造逼近凸体的算法'''：
#* 提出了一种算法，通过逐步替换凸体边界上的弧线来构造逼近凸体。
#* 证明了该算法能够生成一系列凸体，这些凸体的Hausdorff距离可以任意接近原始凸体。
#* 讨论了算法的收敛性和逼近凸体的几何特性。
# '''理论证明和几何构造'''：
#* 通过几何构造和理论证明，展示了如何将球面上的凸体逼近为具有相同宽度的简单凸体。
#* 证明了逼近凸体的边界结构和原始凸体的边界结构之间的关系。
#* 讨论了逼近凸体的宽度和原始凸体的宽度之间的关系。
这篇论文的方法论分析结果表明，球面上的常宽体和约简体可以通过一系列几何构造和逼近算法被有效逼近，这对于理解和计算球面上的几何形状提供了重要的理论基础。