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* '''标题'''：The density of Meissner polyhedra
* '''中文标题'''：Meissner多面体的密度
* '''发布日期'''：2023-04-08 15:07:22+00:00
* '''作者'''：Ryan Hynd
* '''分类'''：math.MG
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/2304.04035v2
'''摘要'''：我们考虑在 $\mathbb{R}^3$ 中的Meissner多面体。这些是常宽体，其边界由球面和纺锤形环面的部分组成。我们通过取同心球的适当交集来定义这些形状，并显示它们在Hausdorff拓扑中是常宽体空间的稠密集。这个密度断言基本上是由Sallee证明的。然而，我们提供了一个现代的观点，考虑到最近对球多面体的理解和基于这些形状构造常宽体的进展。

== 问题与动机 ==
作者的研究问题包括：
* [[Meissner多面体]]在[[三维空间]]中的密度是怎样的？
* 如何证明Meissner多面体在[[常宽体空间]]中是密集的？
* Meissner多面体的[[体积]]如何计算？
* 如何使用[[数学软件]]绘制Meissner多面体的图形？

== 背景介绍 ==
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
# '''Meissner多面体的密度研究'''：
#* [[Meissner多面体]]是三维空间中具有恒宽性质的几何体，它们的边界由球面和纺锤形环面的片段组成。
#* 这些几何体可以通过适当地相交相同的球体来定义，并且它们在恒宽体的空间中是密集的。
#* 先前的研究由Sallee等人进行，他们证明了某些恒宽体类也是密集的，但与Meissner多面体之间的关系尚不清楚。
#* 本文旨在通过现代视角，结合球体多面体的理解进展和基于这些形状构建恒宽体的新方法，来探讨Meissner多面体的密集性。
# '''Reuleaux多面体与球体多面体的联系'''：
#* [[Reuleaux多面体]]是一类特殊的球体多面体，包括Reuleaux四面体，它们是Meissner四面体的构建基础。
#* 球体多面体是由有限集合的点在三维空间中定义的几何体，这些点的直径之和不超过1。
#* 本文将探讨Reuleaux多面体的构建，以及它们如何作为Meissner多面体的近似。
# '''恒宽体的几何特性'''：
#* 恒宽体是具有恒定宽度的几何体，即对于任意一对平行的支持平面，它们之间的距离是恒定的。
#* 这类几何体在数学和工程学中具有重要的应用，例如在机械设计和机器人路径规划中。
#* 本文将讨论Meissner多面体是否具有恒宽性质，并探索其几何特性。
# '''数学理论的应用与进展'''：
#* 本文将使用[[Hausdorff距离]]来衡量凸体之间的差异，并探讨Meissner多面体在恒宽体空间中的密集性。
#* 通过数学建模和计算，本文提供了对Meissner多面体体积的计算方法，以及如何使用[[Mathematica]]绘制这些几何体。
综上所述，这篇文献的背景强调了Meissner多面体在恒宽体研究中的重要性，探讨了它们的性质、构建方法以及在现代几何学中的应用。

== 章节摘要 ==
这篇论文是关于[[Meissner多面体]]在[[三维空间]]中的密度研究，主要内容包括：
# '''引言'''：介绍了[[常宽体]]的概念，即具有恒定宽度的[[凸体]]，以及Meissner多面体的定义和性质。常宽体是一类特殊的凸体，其所有平行支撑平面之间的距离相等。文中通过[[球体]]的交集来构造Meissner多面体，并探讨了它们在常宽体空间中的密集性。
# '''纺锤体'''：详细讨论了[[纺锤体]]的几何特性，包括定义、不等式以及与常宽体的关系。纺锤体是一类由两个点确定的凸体，其边界由球体和纺锤面组成。文中还探讨了纺锤凸性的概念，以及如何通过纺锤凸性来描述常宽体。
# '''Reuleaux多面体'''：研究了[[Reuleaux多面体]]，这是一类特殊的球体多面体，包括Reuleaux四面体。文中讨论了球体多面体的构建，[[Vázsonyi问题]]，以及通过球体多面体构造常宽体的方法。
# '''Meissner多面体'''：定义了Meissner多面体，并探讨了它们的性质，包括常宽性质。文中通过在Reuleaux四面体的基础上进行几何变换来构造Meissner四面体，并证明了这些形状具有常宽性质。
# '''密度定理'''：证明了Meissner多面体在常宽体空间中的密集性。文中首先通过近似方法找到一个与给定常宽体接近的球体多面体，然后通过构造Meissner多面体来进一步逼近给定的常宽体。
# '''附录'''：
  #* '''Meissner四面体的体积'''：计算了两种类型的Meissner四面体的体积，使用了[[Gauss-Bonnet公式]]和球体多面体的周长计算。
  #* '''绘图'''：描述了如何使用[[Mathematica软件]]绘制Reuleaux和Meissner四面体。

== 研究方法 ==
这篇论文通过综合分析[[几何构造]]、[[拓扑学]]和[[计算几何]]方法，探讨了[[Meissner多面体]]在[[三维空间]]中的密度特性。以下是该研究方法论的主要组成部分：
# '''几何构造'''：
#* 利用[[球体]]和[[纺锤体]]的交集定义Meissner多面体，展示了这些形状如何通过适当的球体交集形成。
#* 通过球体的交集和边界操作（如纺锤体替换）构造[[Reuleaux多面体]]和Meissner四面体。
#* 引入[[楔形]]和纺锤体的概念，用于描述和分析Reuleaux多面体的边缘和表面。
# '''拓扑学分析'''：
#* 研究了Reuleaux多面体的边界和顶点的拓扑特性，以及这些特性如何影响Meissner多面体的结构。
#* 利用[[Hausdorff距离]]定义和分析了常宽体空间中的密集性。
#* 证明了Meissner多面体在常宽体空间中的密集性定理。
# '''计算几何方法'''：
#* 使用计算几何技术（如[[Minkowski和]]）来近似和计算常宽体。
#* 利用球体和纺锤体的体积和表面积公式计算Meissner四面体的几何特性。
#* 通过[[Mathematica]]软件绘制和验证几何构造和定理。
# '''综合分析'''：
#* 结合几何构造、拓扑学和计算几何的结果，证明了Meissner多面体可以逼近任何三维常宽体。
#* 讨论了Meissner多面体在常宽体空间中的代表性和应用潜力。
这篇论文的方法论分析结果表明，Meissner多面体不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中，如[[机械工程]]和[[建筑设计]]中，也具有潜在的使用价值。