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* '''标题'''：Convex bodies of constant width with exponential illumination number
* '''中文标题'''：具有指数照明数的常宽凸体
* '''发布日期'''：2023-04-20 16:08:27+00:00
* '''作者'''：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak
* '''分类'''：math.MG, math.CO, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/2304.10418v3
'''摘要'''：我们证明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的常宽凸体，其照明数至少为$(\cos(\pi/14)+o(1))^{-n}$，回答了G. Kalai的一个问题。此外，我们证明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的直径为$1$的有限集合，它们不能被$(2/\sqrt{3}+o(1))^{n}$个直径为$1$的球覆盖，这改进了J. Bourgain和J. Lindenstrauss的一个结果。

== 问题与动机 ==
作者的研究问题包括：
* 如何证明存在具有至少 (cos(π/14)+o(1))⁻ⁿ 照明数的常宽[[凸体]]？
* 如何改进 [[J. Bourgain]] 和 [[J. Lindenstrauss]] 的结果，证明有限直径集不能被 (2/√3 − o(1))ⁿ 个直径为 1 的[[球]]所覆盖？
* 如何构造具有足够“分离”方向的点集 X，以保证直径 W(X) ≤ 2 cos α？
* 如何利用[[概率方法]]证明存在满足特定条件的大集合 X，使得 Sn−1 上的每个点最多被 O(n log n) 个球 C(x, φ) 覆盖？

== 背景介绍 ==
这篇论文的研究背景主要集中在以下几个方面：
# '''凸体的照明数问题'''：
#* [[凸体]]的[[照明数]]是衡量凸体几何特性的一个重要参数，它与凸体的覆盖和分割问题紧密相关。
#* 照明数的概念最早由O. Schramm提出，他证明了凸体照明数的一个上界，但是否存在满足特定下界的凸体一直是一个未解决的问题。
#* G. Kalai在其研究中提出了关于照明数的猜想，即是否存在照明数至少为(1+ε)^n的常宽凸体，其中ε>0。
# '''常宽凸体的几何特性'''：
#* 常宽凸体是指任意两个平行支撑超平面之间的距离恒定的凸体，这类凸体在[[几何学]]中具有独特的性质和应用。
#* 常宽凸体的照明数问题与[[Borsuk猜想]]有关，Borsuk猜想是组合几何中的一个重要问题，涉及将凸体分割成直径较小的部分。
#* 研究常宽凸体的照明数有助于理解凸体的几何结构和性质，以及在组合几何中的应用。
# '''球面覆盖问题'''：
#* 球面覆盖问题涉及到如何用相同直径的[[球体]]覆盖一个给定的凸体或有限点集，这与凸体的照明数问题有直接联系。
#* J. Bourgain和J. Lindenstrauss的工作表明，覆盖一个有限点集至少需要1.0645^n个直径为1的球体，而本研究进一步改进了这一结果。
#* 球面覆盖问题的研究有助于理解凸体的几何结构和优化覆盖策略。
综上所述，这篇论文的研究背景强调了凸体照明数问题的重要性，以及它与常宽凸体的几何特性和球面覆盖问题的联系，这些问题在[[组合几何]]和[[凸体几何]]中具有重要的理论和应用价值。

== 章节摘要 ==
这篇论文是关于在高维[[欧几里得空间]]中具有恒定宽度的[[凸体]]的[[照明数]]的研究，主要内容包括：
# '''引言'''：
#* 定义了凸体、照明数等基本概念，并介绍了问题的背景。
#* 提出了主要问题：是否存在具有恒定宽度的凸体，其照明数至少为(cos(π/14) + o(1))^(-n)。
#* 引用了O. Schramm的工作，证明了照明数的上界。
#* 通过构造特定的凸体，回答了G. Kalai提出的问题。

# '''主要定理和引理'''：
#* 提出了主要定理（Theorem 1），证明了存在满足特定照明数下界的凸体。
#* 引入了辅助的[[几何]]引理（Lemma 1），用于分析凸体的照明方向。
#* 提出了[[概率]]引理（Lemma 2），用于构造满足特定条件的点集。

# '''几何论证'''：
#* 通过几何观察和论证，证明了主要定理。
#* 详细分析了凸体的直径、照明方向与点集之间的关系。

# '''概率论证'''：
#* 使用概率方法证明了引理2，构造了满足特定条件的点集。
#* 讨论了点集在球面上的分布和覆盖问题。

# '''结论'''：
#* 证明了主要定理，即存在凸体的照明数至少为(cos(π/14) + o(1))^(-n)。
#* 提出了一个改进的结果（Theorem 2），关于用相同直径的球覆盖有限点集的问题。
#* 讨论了这些结果与[[Borsuk猜想]]的关系，并提出了未来的研究方向。