查看“WikiEdge:ArXiv-2408.17372v1/abs”的源代码

<!-- 不要移除下面第一行，如果有编辑错误，请直接修改第二行以后的内容 -->
<div style="float: right;">[{{fullurl:WikiEdge:ArXiv-2408.17372v1/abs|action=edit}} 编辑]</div>
* '''标题'''：Partial Blow-up Phenomena in the $SU(3)$ Toda System on Riemann Surfaces
* '''中文标题'''：部分爆破现象在黎曼曲面上的 $SU(3)$ Toda 系统
* '''发布日期'''：2024-08-30T16:06:08+00:00
* '''作者'''：Zhengni Hu, Mohameden Ahmedou, Thomas Bartsch
* '''分类'''：math.AP, 35J57, 58J05
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/2408.17372v1
'''摘要'''：本工作研究了在具有光滑边界的紧致[[黎曼曲面]]上的 $SU(3)$ [[Toda 系统]]的部分爆破现象。我们考虑以下带有 [[Neumann 边界条件]]的耦合 [[Liouville 系统]]：
$$
-\Delta_g u_1 = 2\rho_1\left( \frac{V_1 e^{u_1}}{\int_{\Sigma} V_1 e^{u_1} \,
dv_g} - \frac 1 {|\Sigma|_g}\right) - \rho_2\left( \frac{V_2
e^{u_2}}{\int_{\Sigma} V_2 e^{u_2} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right)
\text{在} \,\mathring\Sigma$$ 和 $$
-\Delta_g u_2 = 2\rho_2\left( \frac{V_2 e^{u_2}}{\int_{\Sigma} V_2 e^{u_2} \,
dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) - \rho_1\left( \frac{V_1
e^{u_1}}{\int_{\Sigma} V_1 e^{u_1} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right)
\text{在} \,\mathring\Sigma$$ 带有边界条件 $
\partial_{\nu_g} u_1 = \partial_{\nu_g} u_2 = 0 \text{在} \, \partial
\Sigma,$ 其中 $(\Sigma, g)$ 是一个具有内部 $\mathring\Sigma$ 和光滑边界 $\partial\Sigma$ 的紧致黎曼曲面，$\rho_i$ 是一个非负参数，$V_i$ 是一个光滑的正函数，对于 $i=1,2$。我们通过 [[Lyapunov-Schmidt 减法]]和[[变分方法]]构造了一族爆破解，其中一个分量在上方保持均匀有界，而另一个分量在内部和边界的预定点处表现出部分爆破。这一构造基于所谓[[影子系统]]的非退化解的存在。此外，我们在三种情况下建立了部分爆破解的存在性：(i) 对于任何足够小的 $\rho_2>0$；(ii) 对于一般的 $V_1, V_2$ 和任何 $\rho_2\in (0,2\pi)$；(iii) 对于一般的 $V_1, V_2$，[[Euler 特征]] $\chi(\Sigma)<1$ 和任何 $\rho_2\in (2\pi,+\infty)\setminus 2\pi \mathbb{N}_+$。