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* '''标题'''：Note on illuminating constant width bodies
* '''中文标题'''：关于照亮常宽体的注记
* '''发布日期'''：2023-05-08 06:21:57+00:00
* '''作者'''：Alexey Glazyrin
* '''分类'''：math.MG
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/2305.04485v1
'''摘要'''：最近，Arman，Bondarenko和Prymak构造了一个在$\mathbb{R}^n$中的恒定宽度体，其照明数是$n$的指数。在这篇笔记中，我们通过推广构造来改进他们的界限。特别地，我们构造了一个在$\mathbb{R}^n$中的恒定宽度体，其照明数至少是$(\tau+o(1))^n$，其中$\tau\approx 1.047$。

== 问题与动机 ==
作者的研究问题包括：
* 如何构建一个具有指数级[[照明数]]的[[常宽体]]？
* 如何改进现有关于常宽体照明数的界限？
* 如何通过改变[[锥体]]顶点的选择来增加照明数的自由度？
* 如何确定常宽体的最小照明数？

== 背景介绍 ==
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
# '''常宽体的照明问题'''：
#* [[常宽体]]是指在所有方向上具有相同宽度的[[凸体]]。这类凸体的[[照明问题]]涉及到确定一个最小的方向集，使得凸体的每个边界点至少被该方向集中的一个方向所照射。
#* [[照明数]]是描述凸体照明问题的关键参数，即确定一个凸体或一类凸体的最小照明集的大小。
#* Schramm在文献[6]中展示了任何n维常宽体的照明数不超过(√3/2 + o(1))n。
# '''指数级照明数的常宽体的存在性'''：
#* Arman, Bondarenko, 和 Prymak在文献[1]中构造了一个常宽体，其照明数至少是(cos π/14 + o(1))^{-n}，从而证明了存在具有指数级照明数的常宽体。
#* 他们的构造基于单位球内嵌入的全等直角球锥的并集，这些球锥的直径与并集的直径相等。
#* 通过选择球锥的顶点，根据Boroczky和Wintsche在文献[3]中构建的经济覆盖球的方法，并估计可以被相同方向照亮的顶点数，他们展示了存在具有指数级照明数的常宽体。
# '''本文的贡献与改进'''：
#* 本文通过推广Arman, Bondarenko, 和 Prymak的构造方法，获得了在选择球锥顶点时更大的自由度。
#* 作者考虑了顶点位于单位球内，但底面属于同心球（可能具有不同半径R）的直角球锥。
#* 通过固定参数R、d、α、β，并选择适当的参数，作者构造了一个n维常宽体，其照明数至少是(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。
综上所述，这篇文献的背景强调了在常宽体的照明问题上，通过改进现有构造方法，可以构造出具有更大照明数的常宽体，从而在[[凸体几何]]领域取得了新的进展。

== 章节摘要 ==
这篇论文是关于[[凸体]]照明问题的[[数学]]研究，论文的主要内容可以概括如下：
# '''引言'''：介绍了凸体的照明问题，即确定凸体边界点被特定方向（[[单位向量]]）照亮的条件。提出了一个自然问题：对于给定的凸体或凸体类，确定最小照明集（照明数）的大小。
# '''主要结果'''：
#* 论文提出了一个改进的上界，构造了一个在Rn中的常宽凸体，其照明数至少为(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。
#* 引用了[[Schramm]]的工作，证明了任何n维常宽凸体的照明数不超过(√3/2 + o(1))n。
#* 引用了[[Arman]], [[Bondarenko]], 和 [[Prymak]]的工作，他们构造了一个照明数至少为(cos π/14 + o(1))−n的常宽凸体。
# '''构造方法'''：
#* 论文通过一般化Arman, Bondarenko, 和 Prymak的构造方法，获得了在选择圆锥顶点时的更多自由度。
#* 考虑了顶点位于单位球内，但底面属于同心球的可能不同半径R的右球面圆锥。
#* 引入了固定参数R、d、α、β，并讨论了这些参数之间的关系。
#* 通过[[Boroczky]]和[[Wintsche]]的经济覆盖球体的方法，估计了可以被同一方向照亮的顶点数。
# '''证明'''：
#* 论文证明了主要定理，即对于每个正整数n，存在一个n维常宽凸体K，其照明数至少为(τ + o(1))n。
#* 选择了适当的圆锥参数，并使用引理1.1、1.2和1.3来证明定理。
#* 通过设置ψ = 2β0和ϕ = ψ + ε，并使用引理1.3构造的点集X，证明了照明数的下界。
# '''参考文献'''：列出了相关文献，包括关于凸体照明问题的研究和球体覆盖问题的研究。

== 研究方法 ==
这篇论文通过[[数学建模]]和[[几何分析]]，探讨了具有恒定宽度的[[凸体]]的照明数问题。以下是该研究方法论的主要组成部分：
# '''数学建模'''：
#* 构建了具有恒定宽度的凸体的[[数学模型]]，定义了凸体的边界点和照明方向。
#* 引入了照明数的概念，即确定凸体边界点被一组方向集照亮的最小方向数。
#* 通过[[数学公式]]和[[定理]]，推导了凸体照明数的上界。
# '''几何分析'''：
#* 利用单位[[球面]]上的几何特性，构造了满足特定条件的[[圆锥体]]集合。
#* 分析了圆锥体的几何参数，如顶点、底面半径、轴线与生成线之间的角度，以及底面球的半径。
#* 通过几何条件，确保了圆锥体集合的直径等于给定的值。
# '''优化参数选择'''：
#* 通过调整圆锥体的几何参数，优化了凸体的照明数。
#* 利用球面上的点集，构造了满足特定角度条件的点集，以提高照明数的下界。
#* 通过数学推导，确定了最优的圆锥体参数，使得照明数达到指数级别。
# '''理论证明'''：
#* 通过[[数学证明]]，验证了所构造的凸体满足具有恒定宽度的条件。
#* 证明了照明数的下界可以达到（τ + o(1)）n的形式，其中τ是一个常数。
#* 通过构造和证明，得出了照明数至少为（cos(α0 − ε) + o(1)）^(-n)的结论。
这篇论文的方法论分析结果表明，通过数学建模和几何分析，可以构造出具有指数级别照明数的恒定宽度凸体，为凸体的照明问题提供了新的视角和解决方案。