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== 摘要 ==
* '''原文标题'''：A recursive method for computing singular solutions in corners with homogeneous Dirichlet-Robin boundary condition with power-law coefficient variation
* '''中文标题'''：具有幂律系数变化的齐次Dirichlet-Robin边界条件下角点奇解计算的递归方法
* '''发布日期'''：2025-05-28 16:58:19+00:00
* '''作者'''：N. Piña-León, V. Mantič, S. Jiménez-Alfaro
* '''分类'''：math.AP
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/2505.22585v1
'''中文摘要'''：本研究提出了一种[[递归方法]]，用于计算[[角域]]中[[拉普拉斯方程]]的[[渐近解]]。该问题在一侧满足齐次[[Dirichlet边界条件]]，另一侧满足具有[[幂律]]系数变化（指数为$\alpha\in \mathbb{R}$）的[[Robin边界条件]]（D-R角问题）。该D-R角问题的渐近解表示为：主项（齐次[[Dirichlet-Neumann]]（D-N）或[[Dirichlet-Dirichlet]]（D-D）角问题的解）与有限或无限高阶影子项级数（采用含[[幂对数]]项的[[调和基函数]]）之和。研究表明，基于递归非齐次D-N或D-D角问题的递归过程分别在$\alpha > -1$和$\alpha < -1$时[[收敛]]。对于临界情况$\alpha=-1$，给出了渐近解的[[闭合表达式]]。推导并分析了若干典型D-R角问题的渐近解，其中两个实例应用于[[线弹性断裂力学]]中[[反平面]]III型[[桥接裂纹]]问题。本成果可推广至[[热传导]]（[[热阻条件]]）、[[声学]]/[[静电学]]（[[阻抗条件]]）及[[弹性]]/[[结构分析]]（[[Winkler弹簧边界条件]]）等众多[[物理]]与[[工程]]领域。

== 摘要 ==
* '''原文标题'''：A unified quaternion-complex framework for incompressible Navier-Stokes equations: new insights and implications
* '''中文标题'''：不可压缩Navier-Stokes方程的四元数-复数统一框架：新见解与启示
* '''发布日期'''：2025-05-28 20:37:33+00:00
* '''作者'''：Farrukh A. Chishtie
* '''分类'''：physics.flu-dyn, math.CV
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1
'''中文摘要'''：摘要：我们提出了一种新颖的[[四元数]]-[[复数]]统一框架来表述不可压缩[[Navier-Stokes方程]]，该框架揭示了[[粘性流体]]运动的[[几何结构]]，并解决了[[克雷数学研究所]]的[[千禧年大奖难题]]。通过引入[[复坐标]]$z = x + iy$并将[[速度场]]表示为$F = u + iv$，我们证明[[非线性对流项]]可分解为$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，从而分离[[无粘对流]]与[[粘性耦合效应]]。我们使用[[四元数]]将该框架扩展到[[三维]]，并通过[[四元数代数]]固有的[[几何约束]]证明[[全局正则性]]。[[不可压缩约束]]自然地表现为要求$\frac{\partial F}{\partial z}$为[[纯虚数]]，从根本上将[[流体力学]]与[[复分析]]联系起来。我们的主要结果表明，[[四元数正交关系]]通过确保[[湍流能量级联]]保持自然有界来防止[[有限时间奇点]]。[[四元数-复数公式]]表明，[[湍流]]代表[[四元数解析性]]的破坏同时保持[[几何稳定性]]，为理解真实流体为何表现出有限[[湍流行为]]而非[[数学奇点]]提供了严格的[[数学基础]]。我们证明对于任何[[光滑初始数据]]，[[三维不可压缩Navier-Stokes方程]]存在唯一[[全局光滑解]]，直接解决了[[克雷研究所]]的挑战。在[[大气边界层]]物理中的应用展示了该框架对[[环境建模]]、[[天气预报]]和[[气候建模]]的直接实践意义。