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* '''标题'''：Hyperspaces of convex bodies of constant width
* '''中文标题'''：常宽凸体的超空间
* '''发布日期'''：2013-12-15 12:15:14+00:00
* '''作者'''：Sergey Antonyan, Natalia Jonard-Pérez, Saúl Juárez-Ordóñez
* '''分类'''：math.GT, math.MG, 57N20, 57S10, 52A99, 52A20, 54B20, 54C55
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/1312.4141v1
'''摘要'''：设n为大于或等于2的自然数。在本文中，我们研究了具有Hausdorff度量拓扑的常宽凸子集的某些超空间的拓扑结构。我们关注的是所有紧凸子集的超空间cw_D(R^n)，其常宽度d\in D，其中D是[0,\infty)的凸子集。我们的主要结果表明，cw_D(R^n)与D\times R^n\times Q同胚，其中Q表示Hilbert立方体。我们还证明了由所有相对宽度为d\in D的紧凸集对组成的超空间crw_D(R^n)与cw_D(R^n)同胚。特别地，我们证明了所有常宽紧凸体的超空间cw(R^n)，以及所有相对正宽度的紧凸集对的超空间crw(R^n)，都与R^{n+1}\times Q同胚。

== 问题与动机 ==
作者的研究问题包括：
* 如何描述所有具有常宽的紧致[[凸子集]]的[[超空间]]（hyperspace）在[[欧几里得空间]]中的[[拓扑结构]]？
* 对于任意非空凸子集D⊂[0, ∞)，如何证明超空间cwD(Rn)和crwD(Rn)同胚于D×Rn×Q，其中Q表示[[Hilbert立方体]]？
* 如何证明对于所有n≥2和所有非空凸子集D≠{0}的[0, ∞)，超空间cwD(Rn)和crwD(Rn)的拓扑结构？
* 如何填补文献[4]中证明cwD(Rn)是可缩Hilbert立方体流形时存在的证明漏洞？
* 如何利用已知的凸体常宽概念，推广到具有常相对宽的紧致凸集对，并研究其性质？

== 背景介绍 ==
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
# '''凸体的超空间研究'''：
#* 研究涉及所有非空紧致[[凸子集]]的超空间 \( \mathcal{C}(\mathbb{R}^n) \)，这些子集在[[欧几里得空间]] \( \mathbb{R}^n \) 中以[[Hausdorff度量]]拓扑结构为特征。
#* 特别关注具有恒定宽度或相对恒定宽度的凸集的子空间，这些概念在[[凸体几何学]]中具有重要地位。
# '''恒定宽度和相对恒定宽度的概念'''：
#* [[凸集]]的恒定宽度定义为该集合任意两个平行支撑超平面之间的距离相等。
#* 相对恒定宽度是恒定宽度概念的推广，涉及两个凸集之间的距离关系。
# '''数学和拓扑结构的深入分析'''：
#* 论文探讨了这些超空间的[[拓扑结构]]，特别是它们与[[Hilbert立方体]]的联系。
#* 研究了这些空间的映射性质，例如[[连续性]]和[[紧致性]]，以及它们在[[仿射变换]]下的不变性。
# '''Q-流形和映射的性质'''：
#* 论文证明了这些超空间是[[Q-流形]]，即它们是可分的、可度量的，并且每个开覆盖都是与Hilbert立方体的开子集同胚。
#* 讨论了映射如 \( \eta_D \) 的性质，这些映射将凸体超空间映射到更简单的[[拓扑空间]]，如 \( D \times \mathbb{R}^n \)。
综上所述，这篇文献的背景强调了在欧几里得空间中，具有恒定宽度或相对恒定宽度的凸体超空间的拓扑和几何性质，以及这些性质如何通过映射和变换得以体现。

== 章节摘要 ==
这篇论文是关于[[欧几里得空间]]中常宽凸体的[[超空间]]结构的研究，主要内容包括：
# '''引言'''：
#* 定义了欧几里得空间中所有非空紧致[[凸子集]]的超空间cc(Rn)，并介绍了由[[Hausdorff度量]]诱导的[[拓扑]]。
#* 讨论了常宽凸体的概念，即两个平行支撑[[超平面]]间的距离相等的凸集。
#* 提出了常相对宽对的概念，这是常宽凸集概念的推广。
# '''预备知识'''：
#* 介绍了绝对邻域收缩(ANR)、适当的映射、[[单元映射]]等拓扑空间的概念。
#* 回顾了凸集的一些基本操作，如[[Minkowski和]]、支撑函数和宽度函数。
# '''超空间cwd(Rn)'''：
#* 描述了一维情况下常宽凸体超空间的拓扑结构。
#* 证明了对于n≥2，常宽凸体超空间是一个可缩的Q-流形。
#* 展示了如何构造任意维度中的常宽凸体。
# '''超空间crwD(Rn)'''：
#* 讨论了常相对宽对的超空间的拓扑结构。
#* 证明了对于n≥2，常相对宽对超空间与常宽凸体超空间同胚。
# '''主要结果'''：
#* 证明了对于所有非空凸子集D≠{0}，常宽凸体超空间cwd(Rn)与D×Rn×Q同胚。
#* 证明了常相对宽对超空间crwD(Rn)与cwd(Rn)同胚。
#* 讨论了这些结果在不同维度和不同凸子集D下的具体表现。

== 研究方法 ==
这篇论文通过[[数学理论]]和[[拓扑学]]方法，探讨了[[欧几里得空间]]中具有恒定宽度的凸体的[[超空间]]结构。以下是该研究方法论的主要组成部分：
# '''数学定义与符号'''：
#* 定义了cc(Rn)为所有非空紧致[[凸子集]]的超空间，使用[[Hausdorff度量]]拓扑。
#* 引入了常宽凸体的概念，并定义了常相对宽度的凸体对。
#* 使用了支持函数和宽度函数等凸体的数学描述。
# '''拓扑空间理论'''：
#* 利用了绝对邻域收缩子（ANR）和Q-流形的概念来描述超空间的拓扑性质。
#* 研究了超空间的连续映射、紧致性、连通性等基本拓扑性质。
#* 应用了Hausdorff度量和凸包理论来分析凸体的拓扑结构。
# '''凸体的构造与性质'''：
#* 利用了[[Minkowksi操作]]来构造具有特定宽度的凸体。
#* 探讨了凸体的直径和中心点的连续性。
#* 研究了凸体的投影和提升维度过程。
# '''超空间的映射与同胚'''：
#* 定义了从超空间到D×Rn×Q的映射，并证明了其连续性和单射性。
#* 利用了[[Edwards定理]]来证明超空间与D×Rn×Q的同胚性。
#* 讨论了超空间的局部紧致性和闭性。
# '''证明与反驳'''：
#* 通过构造反例来反驳了某些先前的错误假设。
#* 提供了详细的证明来支持新的定理和命题。
#* 使用了归纳法和几何论证来证明定理。
# '''应用与推广'''：
#* 将结果推广到任意维度的欧几里得空间。
#* 讨论了结果在其他数学分支如[[几何]]和[[代数几何]]中的潜在应用。
这篇论文的方法论分析结果表明，对于任意维度n≥2和非空凸子集D≠{0}，具有恒定宽度的凸体的超空间cwD(Rn)和具有恒定相对宽度的凸体对的超空间crwD(Rn)都与D×Rn×Q同胚，从而为理解这些超空间的拓扑结构提供了深刻的数学基础。

== 研究结论 ==
根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：
# '''常宽凸体的超空间'''：对于任意维度 \( n \geq 1 \)，所有非空紧致[[凸子集]]的超空间 \( cc(R^n) \) 赋予[[Hausdorff度量]]拓扑，可以被证明与 \( D \times R^n \times Q \) 同胚，其中 \( Q \) 表示[[Hilbert立方体]]。
## '''常宽凸体的子空间'''：对于任意非空凸子集 \( D \) 属于 \( [0, \infty) \)，所有常宽 \( d \in D \) 的紧致凸集构成的子空间 \( cwD(R^n) \) 与 \( D \times R^n \times Q \) 同胚。
## '''常相对宽凸体对的超空间'''：对于任意非空凸子集 \( D \) 属于 \( [0, \infty) \)，所有常相对宽 \( d \in D \) 的紧致凸集对构成的超空间 \( crwD(R^n) \) 与 \( cwD(R^n) \) 同胚。
# '''低维情况的特别说明'''：
## '''一维情况'''：当 \( n = 1 \) 时，\( cwD(R) \) 与 \( D \times R \) 同胚，而 \( crwD(R) \) 与 \( D \times R \times [0, 1] \) 同胚。
# '''高维情况的一般性质'''：
## '''Q-流形性质'''：对于 \( n \geq 2 \)，\( cwD(R^n) \) 和 \( crwD(R^n) \) 都是可缩的[[Q-流形]]。
## '''映射性质'''：定义的映射 \( \eta_D: cwD(R^n) \to D \times R^n \) 是一个单元映射，意味着 \( cwD(R^n) \) 是 \( D \times R^n \) 的一个像。
这些结论为理解不同维度下常宽和常相对宽凸体的超空间提供了重要的[[拓扑结构]]信息。

== 术语表 ==
这篇文章的术语表如下：
* [[凸体]]（Convex body）：指一个在欧几里得空间中的紧致凸子集，具有非空的内部。
* [[常宽凸体]]（Convex body of constant width）：指在欧几里得空间中的一个紧致凸集，其任意两个平行支撑超平面之间的距离相等。
* [[相对常宽]]（Constant relative width）：指一对紧致凸集在欧几里得空间中，对于每一个单位向量，它们的支撑函数之和为常数。
* [[Hausdorff 度量]]（Hausdorff metric）：用于度量两个紧致集合在欧几里得空间中的最大距离。
* [[超空间]]（Hyperspace）：指所有非空紧致凸子集的集合，赋予Hausdorff度量拓扑。
* [[希尔伯特立方]]（Hilbert cube）：指由[0, 1]的无限笛卡尔积构成的空间，记为Q。
* [[Q-流形]]（Q-manifold）：指一个可分离的、可度量化的空间，它有一个开覆盖，每个成员都是希尔伯特立方的开子集的同胚像。
* [[仿射变换]]（Affine transformation）：指在欧几里得空间中保持点之间度量关系的线性变换。
* [[支撑函数]]（Support function）：定义为对于一个凸集和空间中的一个方向，该方向上所有点的支撑超平面的法向量与点的内积的最大值。
* [[宽度函数]]（Width function）：定义为一个凸集的支撑函数在正方向和反方向上的值的和。
* [[切比雪夫球]]（Chebyshev ball）：对于一个凸集，指包含该凸集的最小半径球。
* [[收缩映射]]（Retraction）：指一个映射，它将一个空间中的一个邻域映射到该空间的一个子集上，并且保持该子集上的点不变。
* [[绝对邻域收缩]]（Absolute neighborhood retract，ANR）：指一个度量空间，对于任何包含它的度量空间，都存在一个邻域和到该空间的收缩映射。
* [[仿射群]]（Affine group）：指由所有仿射变换构成的群，记为Rn ⋊ GL(n)。
* [[相似变换]]（Similarity transformation）：指一个具有正比率λ的仿射变换，使得对于所有点x, y，有∥g(x) − g(y)∥ = λ∥x − y∥。
* [[Minkowski 加法]]（Minkowski addition）：对于两个集合A和B，定义为A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}。
* [[仿射等距嵌入]]（Affine isometric embedding）：指一个映射，它保持了集合的仿射结构和度量性质。
* [[凸集的直径]]（Diameter of a convex set）：指凸集内部任意两点间的最大距离。
* [[凸集的凸包]]（Convex hull）：指包含一个给定集合的最小凸集。

== 参考文献 ==
这篇文章的主要参考文献如下：
# Alperin, J.L. & Bell, R.B. (1995). Groups and Representations, Graduate texts in mathematics 162, Springer, New York.
#* 提供了关于群和表示理论的基础知识，可能对理解文中涉及的数学结构有帮助。
# Antonyan, S.A. & Jonard-Perez, N. (2013). Affine group acting on hyperspaces of compact convex subsets of Rn, Fund. Math. 223 (1), 99-136.
#* 讨论了仿射群在紧致凸子集超空间上的作用，为本文提供了理论基础。
# Bessaga, C. & Pelczynski, A. (1975). Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology, Polish Scientific Publishers, Warzawa.
#* 涉及无限维拓扑学的选择性主题，对本文的拓扑结构讨论可能有重要影响。
# Bazylevych, L.E. & Zarichnyi, M.M. (2006). On convex bodies of constant width, Topol. Appl. 153 (9), 1699-1704.
#* 专注于常宽凸体的研究，为本文提供了直接相关的理论支持。
# Chapman, T.A. (1975). Lectures on Hilbert Cube Manifolds, C. B. M. S. Regional Conference Series in Math., 28, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
#* 讨论了希尔伯特立方体流形的讲座，为本文提供了拓扑空间理论的参考。