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* '''标题'''：The asymmetry of complete and constant width bodies in general normed spaces and the Jung constant
* '''中文标题'''：一般规范空间中完全体和常宽体的不对称性以及Jung常数
* '''发布日期'''：2014-12-30 17:17:39+00:00
* '''作者'''：René Brandenberg, Bernardo González Merino
* '''分类'''：math.MG
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/1412.8693v3
'''摘要'''：在本文中，我们阐述了在任意闵可夫斯基空间中，体的外接半径与直径的最大比率（Jung常数）与该空间中完全体的最大闵可夫斯基不对称性之间的一一对应关系。这使得我们能够推广和统一有关完全体的最新结果，并得出一个必要条件，即在假设给定体为完全体的情况下，对空间的单位球的条件。最后，我们给出了几个推论，即关于Helly维数或Banach-Mazur距离的问题。

== 问题与动机 ==
作者的研究问题包括：
* 如何在任意的 [[Minkowski 空间]]中建立一个身体（body）的直径和外接圆半径比率（即 [[Jung 常数]]）与该空间内完全体（complete bodies）的最大 [[Minkowski 不对称性]]之间的一一对应关系？
* 如何推广和统一有关完全体和常宽体（[[constant width bodies]]）的最新结果？
* 如何导出给定体为完全体时，对空间的单位球的必要条件？
* 如何通过研究 [[Minkowski 不对称性]]和 [[Jung 常数]]来揭示与 [[Minkowski 空间]]中几何不等式相关的新见解？
* 如何利用 [[Minkowski 不对称性]]来改进几何不等式，并将这些不等式与对称集的版本相联系？
* 如何通过研究 [[Minkowski 空间]]中的完全性和常宽性，来探索凸体（[[convex bodies]]）的几何特性？

== 背景介绍 ==
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
# '''Minkowski空间中几何体的对称性和不对称性'''：
#* 在[[Minkowski空间]]中，研究几何体的对称性和不对称性对于理解空间的性质至关重要。
#* 几何体的[[对称性]]和[[不对称性]]可以通过多种方式来衡量，例如[[Minkowski不对称性]]和[[Jung常数]]。
#* 该研究探讨了在任意[[Minkowski空间]]中，几何体的[[Jung常数]]与其[[Minkowski不对称性]]之间的一一对应关系。
# '''几何体的完全性和常宽性'''：
#* 在[[欧几里得空间]]和[[平面Minkowski空间]]中，完全集正是常宽集，但在一般的[[Minkowski空间]]中，并非所有常宽集都是完全的。
#* 完全集和常宽集在[[凸几何]]中是重要的研究对象，它们的性质对于理解空间的几何结构具有重要意义。
# '''Jung常数和Minkowski不对称性的联系'''：
#* [[Jung常数]]是衡量在给定空间中，几何体的外接半径与直径比的最大值。
#* 文献中提出了[[Jung常数]]与[[Minkowski空间]]中完全体的Maximal [[Minkowski不对称性]]之间的一一对应关系。
# '''几何不等式和凸体的半径'''：
#* 研究凸体的外接半径、直径等基本半径之间的几何不等式是[[凸几何]]研究的核心领域之一。
#* 文献中探讨了[[Jung不等式]]和[[Minkowski不对称性]]在不同[[Minkowski空间]]中的推广和改进。
综上所述，这篇文献的背景强调了在[[Minkowski空间]]中，几何体的[[对称性]]和[[不对称性]]度量，以及这些度量如何与几何体的完全性和常宽性相关联，进而揭示了[[Jung常数]]和[[Minkowski不对称性]]之间的深刻联系。

== 章节摘要 ==
这篇论文是关于在一般[[范数空间]]中[[完全体]]和[[恒定宽度体]]的不对称性以及[[Jung常数]]的研究，论文的主要内容可以概括如下：
# '''引言'''：介绍了在[[Minkowski空间]]中完全集（不能增大而不增加其直径的有界集）的概念，并讨论了在[[欧几里得空间]]和平面Minkowski空间中完全集与恒宽集的关系。同时，引入了Minkowski不对称性的概念，并讨论了其在几何不等式中的应用。
# '''伪完全性和完全性'''：
#* 讨论了伪完全集和完全集的性质，以及它们与Minkowski空间中单位球的关系。
#* 提出了一些关于完全集和伪完全集的几何不等式，并证明了这些不等式。
#* 引入了[[Scott完全]]的概念，并讨论了其存在性。
# '''Jung常数与Minkowski不对称性'''：
#* 建立了Jung常数（表示体的外接半径与直径的最大比率）与Minkowski空间中完全体的Minkowski不对称性之间的一一对应关系。
#* 提出了一个定理，描述了Jung常数与Minkowski不对称性之间的关系，并讨论了其在不同Minkowski空间中的推广。
#* 讨论了Jung常数在几何不等式中的应用，以及如何利用Minkowski不对称性来改进这些不等式。
# '''Helly维数与Banach-Mazur距离'''：
#* 引入了[[Helly维数]]的概念，并讨论了其与Minkowski空间中完全集的关系。
#* 讨论了[[Banach-Mazur距离]]，并提出了一个定理，描述了Minkowski空间中完全集的Banach-Mazur距离与其Jung常数之间的关系。
#* 提出了一些关于Helly维数和Banach-Mazur距离的不等式，并讨论了其在不同Minkowski空间中的推广。
# '''结论'''：总结了论文的主要发现，包括Jung常数与Minkowski不对称性之间的关系，以及这些发现在几何不等式和Helly维数中的应用。

== 研究方法 ==
这篇论文通过[[数学分析]]和[[几何论证]]，探讨了在一般[[范数空间]]中[[完全体]]和[[恒定宽度体]]的不对称性以及[[Jung常数]]。以下是该研究方法论的主要组成部分：
# '''数学分析'''：
#* 利用范数空间和[[凸体]]的数学定义，定义了完全体和恒定宽度体的概念。
#* 通过[[不等式]]和[[优化方法]]，推导了Jung常数与体的直径和外接半径之间的关系。
#* 使用[[线性规划]]方法计算多面体的[[Minkowski不对称性]]。
# '''几何论证'''：
#* 通过[[几何不等式]]和凸体的几何属性，探索了完全体的外接半径和直径的比例。
#* 利用凸体的支撑函数和宽度，分析了恒定宽度体的特性。
#* 通过几何构造和证明，研究了完全体和恒定宽度体之间的关系。
# '''理论推导'''：
#* 通过引入Jung常数的概念，建立了完全体的最大不对称性和Jung常数之间的一一对应关系。
#* 利用[[Minkowski空间]]的几何特性，推导了完全体的外接半径和直径的比率的上界。
#* 通过[[数学归纳法]]和[[反证法]]，证明了若干几何不等式和对称性条件。
# '''应用实例'''：
#* 通过具体的例子，如正则n-简单形和[[Reuleaux体]]，展示了理论结果的应用。
#* 利用特定的几何构造，如[[Scott补全]]和伪补全，说明了理论在实际几何问题中的应用。
#* 通过计算和比较不同几何体的Jung常数和不对称性，验证了理论的普适性和有效性。
这篇论文的方法论分析结果表明，Jung常数和Minkowski不对称性为理解和量化范数空间中几何体的几何特性提供了有力的工具。

== 研究结论 ==
根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：
# '''Jung常数与Minkowski不对称性的关系'''：在任意[[Minkowski空间]]中，一个物体的外接半径与直径之比（[[Jung常数]]）与该空间内完全体的最大Minkowski不对称性存在一一对应关系。
# '''完全体与常宽体的不对称性'''：论文提出了一个必要条件，用于确定在给定的Minkowski空间中，一个给定的体是否是完全的。
# '''Helly维数与Banach-Mazur距离'''：论文陈述了几个推论，例如与[[Helly维数]]或[[Banach-Mazur距离]]相关的结果。
# '''Jung常数的界定'''：论文证明了Jung常数可以被界定，并且这个界定与Minkowski空间的单位球有关。
# '''完全体与伪完全体的联系'''：论文探讨了完全体和伪完全体之间的关系，并提供了关于它们几何特性的深入分析。
# '''Minkowski空间的Helly维数'''：论文展示了如何利用Helly维数来界定Minkowski空间中的某些几何特性。
# '''Banach-Mazur距离的计算'''：论文提供了计算Banach-Mazur距离的新方法，并且展示了这个距离如何与Minkowski不对称性相关联。
# '''Minkowski空间中体的分类'''：论文对Minkowski空间中的体进行了分类，特别是完全体和常宽体，并探讨了它们的几何特性。
# '''Jung常数的计算'''：论文提供了计算Jung常数的方法，并且展示了这个常数如何依赖于Minkowski空间的几何特性。
# '''Minkowski空间的几何不等式'''：论文探讨了Minkowski空间中几何不等式的研究，特别是与外接半径和直径比率相关的不等式。
# '''Minkowski空间的完美范数'''：论文讨论了在哪些条件下Minkowski空间的范数是完美的，并且提供了完美范数空间的几何特性。
这些结论为理解Minkowski空间中的几何特性提供了重要的理论基础，并且指出了在这些空间中完全体和常宽体的几何特性如何相互关联。

== 术语表 ==
这篇文章的术语表如下：
* [[Minkowski空间]]（Minkowski space）：一个有限维实数赋范空间，用于研究凸体和几何不等式。
* [[完全体]]（Complete bodies）：在Minkowski空间中，不能通过增大而不增加其直径的有界集合。
* [[常宽体]]（Constant width bodies）：在任意方向上的宽度都相等的凸体。
* [[Minkowski不对称性]]（Minkowski asymmetry）：描述凸集不对称性的度量，是将一个集合通过缩放后能够覆盖其关于原点的镜像集合所需的最小缩放因子。
* [[Jung常数]]（Jung constant）：在任意Minkowski空间中，凸体的外接半径与直径之比的最大值。
* [[外接半径]]（Circumradius）：能够包含凸体的最小球体的半径。
* [[直径]]（Diameter）：凸体上两点间最大距离的两倍。
* [[内半径]]（Inradius）：能够被凸体完全包含的最大球体的半径。
* [[伪完全体]]（Pseudo-complete bodies）：存在一个平移，使得该平移后的单位球体被包含在该体内部，并且该体被包含在以该平移为中心的外接球体中。
* [[Scott补全]]（Scott completion）：如果一个补全与原集合具有相同的外接球，并且直径也相同，则称这个补全为Scott补全。
* [[Banach-Mazur距离]]（Banach-Mazur distance）：两个全维集合之间的距离，定义为一个集合能够通过线性映射缩放并平移至另一个集合所需的最小缩放因子。
* [[Helly维数]]（Helly dimension）：在凸几何中，如果一个凸集族中任意k+1个集合的交集非空，则整个族的交集也非空的最小正整数k。
* [[Blaschke选择定理]]（Blaschke Selection Theorem）：在凸体理论中，如果一个凸体序列的直径和外接半径都受到限制，则该序列有一个收敛子序列。
* [[线性规划]]（Linear Programming）：一种数学方法，用于在一组线性不等式约束下最大化或最小化一个线性目标函数。
* [[平行otope]]（Parallelotope）：一种多面体，可以通过将一个向量加到另一个向量上得到，其所有面都是平行四边形。
* [[Reuleaux三角形]]（Reuleaux triangle）：一个由圆弧构成的平面图形，其边界由三个圆的弧段组成，每个弧段的圆心位于其他两个弧段的圆上。
* [[Meissner体]]（Meissner bodies）：在三维空间中，具有特定几何属性的常宽体。
* [[Hadamard矩阵]]（Hadamard matrix）：一种特殊类型的方阵，其元素为+1或-1，行之间正交。
* [[凸包]]（Convex hull）：一组点的最小凸集，包含该组点中的每一个点。
* [[支持函数]]（Support function）：定义为凸体上任意一点在给定方向上的支撑超平面的最小距离。

== 参考文献 ==
这篇文章的主要参考文献如下：
* [18] H. G. Eggleston, Measures of asymmetry of convex curves of constant width and restricted radii of curvature, Quard J. Math. Oxford Ser. 3 (1952), no. 2, 63–72.
** 提供了凸曲线的不对称性度量的基础理论。
* [26] B. Grünbaum, Measure of convex sets, Convexity, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 7, 233-270. American Math. Society, Providence (1963).
** 为凸集的度量提供了深入的讨论，对本文的理论和方法有重要影响。
* [34] H. Jung, Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt, J. Reine Angew. Math. 123 (1901), 241–257.
** Jung定理是本文研究的基础之一，提供了凸体和其外接球半径之间关系的重要理论。
* [46] R. Schneider, Stability for some extremal properties of the simplex, J. Geom. 96 (2009), 135–148.
** 讨论了凸多边形的一些极值性质的稳定性，对本文的稳定性分析有重要贡献。
* [14] R. Brandenberg, S. König, Sharpening geometric inequalities using computable symmetry measures, arXiv:1310.4368.
** 提供了使用可计算的对称性度量来锐化几何不等式的方法，对本文的方法论有直接影响。