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* '''标题'''：Spherical bodies of constant width
* '''中文标题'''：常宽度的球形体
* '''发布日期'''：2018-01-03 20:44:24+00:00
* '''作者'''：Marek Lassak, Michał Musielak
* '''分类'''：math.MG, 52A55
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/1801.01161v1
'''摘要'''：一个 $d$ 维球体 $S^d$ 的两个不同且非对立的半球 $G$ 和 $H$ 的交集 $L$ 被称为弓形。我们将 $L$ 的厚度定义为界定 $L$ 的 $(d-1)$ 维半球的中心的距离。对于支持一个球形凸体 $C \subset S^d$ 的半球 $G$，我们定义 ${\rm width}_G(C)$ 为包含 $C$ 的形式为 $G \cap H$ 的最窄弓形或弓形的厚度。如果对于每个支持 $C$ 的半球 $G$，${\rm width}_G(C) =w$，我们就说 $C$ 是一个常宽度为 $w$ 的体。我们展示了这些体的属性。特别地，我们证明了任何在 $S^d$ 上的常宽度为 $w$ 的球形体 $C$ 的直径是 $w$，并且如果 $w < \frac{\pi}{2}$，那么 $C$ 是严格凸的。此外，我们正在检查常宽度和常直径的球形体何时重合。

== 问题与动机 ==
作者的研究问题包括：
* 如何定义和理解在\[ [[S^d]] \]上的[[常宽球体]]？
* 如何确定一个[[球体]]是否具有常宽，并且其常宽是多少？
* [[常宽球体]]的[[直径]]与其常宽之间有何关系？
* [[常宽球体]]是否一定是[[严格凸]]的？
* [[常宽球体]]和[[常直径球体]]之间有何联系？
* 在\[ [[S^d]] \]上，[[常宽球体]]和[[常直径球体]]是否等价？

== 背景介绍 ==
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
# '''球面几何与凸体的性质'''：
#* [[球面几何]]是研究球面上点、线、面之间关系的数学分支，它在[[数学]]、[[物理]]和[[工程]]领域都有广泛的应用。
#* 球面[[凸体]]作为球面几何中的重要概念，其性质的研究有助于理解球面上形状和结构的复杂性。
# '''常宽体的定义与研究'''：
#* 常宽体是指在球面上具有恒定厚度的凸体，这类几何体的研究有助于深入理解球面凸体的几何特性。
#* 常宽体的研究不仅涉及[[数学理论]]，还与实际应用相关，例如在设计具有特定接触特性的[[机械部件]]时可能会用到。
# '''球面凸体的直径与宽度的关系'''：
#* 球面凸体的直径和宽度是衡量其形状的重要参数，研究这两者之间的关系有助于揭示球面凸体的内在性质。
#* 直径和宽度的关系在球面几何中可能与[[欧几里得空间]]中的情况有所不同，因此需要特别的研究。
# '''球面常宽体与常直径体的等价性问题'''：
#* 探讨球面常宽体是否必然是常直径体，以及这两者之间的转换关系，对于完善球面凸体理论具有重要意义。
#* 这一问题的研究可能涉及到球面几何中更深层次的性质，如球面凸体的支撑性质和边界行为。
综上所述，这篇文献的背景强调了球面几何中常宽体和常直径体的研究重要性，以及这些概念在理论发展和实际应用中的潜在价值。

== 章节摘要 ==
这篇论文是关于[[常宽球体]]的研究，论文的主要内容可以概括如下：
# 引言：定义了[[球体]]的[[月牙形]]（lune）以及球体上的[[凸体]]概念，介绍了球体的宽度定义，并提出了研究的主要问题。
# 球面凸体的一些引理
## 引理1：描述了[[闭集]]在[[球面凸包]]中的性质。
## 引理2：讨论了[[球面凸体]]与支持它的[[半球体]]之间的关系。
## 引理3：描述了在特定条件下，球面上的点如何成为月牙形的角点。
## 引理4：讨论了球面上两点确定的弧上点的凸包性质。
## 引理5：证明了球面凸体的每个点都可以由最多d+1个极点的凸包来确定。
## 引理6：讨论了具有大于π/2的常宽的球面凸体的性质。
# 常宽球体
## 定义了球面凸体的常宽，并讨论了其基本性质。
## 通过构造性的例子，展示了在三维球面上的常宽凸体。
# 常宽球体的直径
## 定理1：证明了常宽球体在任意边界点处可以内切唯一的球体。
## 定理2：证明了小于π/2的常宽球面凸体是严格凸的。
## 定理3：证明了对于任意常宽球体和其边界上的点，都存在一个包含该球体的月牙形，其厚度等于球体的常宽。
## 定理4：证明了常宽球体的直径等于其常宽。
# 常宽与常直径
## 定理5：证明了常宽球面凸体具有常直径，且如果直径大于等于π/2，则也是常宽的。
## 提出了一个开放性问题：是否所有直径小于π/2的球面凸体都是常宽凸体。

== 研究方法 ==
这篇论文通过[[数学分析]]和[[几何论证]]，探讨了在[[球面]]上具有恒定宽度的[[凸体]]的性质。以下是该研究方法论的主要组成部分：
# '''数学定义与性质探讨'''：
#* 定义了球面凸体、[[球面距离]]、[[球面凸包]]等基本几何概念。
#* 引入了球面凸体的“宽度”概念，并讨论了其与球面凸体直径之间的关系。
#* 探讨了球面凸体的“厚度”和“极点”等性质。
# '''几何论证与定理证明'''：
#* 利用[[球面几何]]和[[凸体理论]]，证明了球面凸体的宽度和直径之间的关系。
#* 证明了具有恒定宽度的球面凸体在任意边界点上的性质。
#* 通过构造和[[反证法]]，证明了球面凸体的某些特定几何性质。
# '''凸体的分类与特性分析'''：
#* 对球面凸体进行了分类，区分了严格凸体和非严格凸体。
#* 分析了不同类型球面凸体的几何特性，如光滑性和对称性。
#* 探讨了球面凸体的直径和宽度在不同维度下的表现。
# '''应用实例与案例分析'''：
#* 通过构造具体的例子，展示了球面凸体的宽度和直径的几何意义。
#* 分析了在特定条件下，球面凸体的宽度和直径如何决定其形状。
#* 讨论了球面凸体的这些性质在实际应用中可能的意义和作用。
# '''问题提出与猜想验证'''：
#* 在论文的最后，提出了关于球面凸体宽度和直径的未解决问题。
#* 通过[[数学证明]]和[[逻辑推理]]，对提出的猜想进行了验证。
这篇论文的方法论分析结果表明，球面凸体的宽度和直径之间存在密切的数学关系，且这些关系可以通过几何论证和数学定理得到严格的证明。此外，论文还探讨了这些几何性质在不同维度和条件下的表现，为理解球面凸体的几何结构提供了深入的洞见。

== 研究结论 ==
根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：
# '''常宽球体的定义与性质'''：定义了在[[球面]]上的[[凸体]]，如果每一个支撑该凸体的[[半球体]]所确定的宽度都相同，则称该凸体具有常宽。
## '''常宽球体的直径'''：证明了在球面上具有常宽 \( w \) 的任何凸体 \( C \) 的[[直径]]是 \( w \)。
## '''凸体的严格凸性'''：如果 \( w < \frac{\pi}{2} \)，则凸体是[[严格凸]]的。
## '''常宽与常直径的一致性'''：探讨了常宽球体与常直径球体的一致性，证明了如果 \( w \geq \frac{\pi}{2} \)，则常直径凸体也是常宽凸体。
## '''常宽凸体的平滑性'''：证明了如果凸体的常宽大于 \( \frac{\pi}{2} \)，则该凸体是[[平滑]]的。
## '''常宽凸体的构造'''：给出了构造常宽凸体的例子，如[[球体]]和球面[[Reuleaux多边形]]。
## '''常宽凸体的支撑特性'''：证明了对于任意边界点，存在一个唯一的支撑半球体，使得内切球与凸体在该点接触。
## '''常宽凸体的直径与宽度关系'''：证明了如果凸体的直径大于 \( \frac{\pi}{2} \)，则其常宽大于 \( \frac{\pi}{2} \)。
## '''常宽凸体的包含关系'''：证明了对于常宽不超过 \( \frac{\pi}{2} \) 的凸体，凸体被包含在通过该点的半球体内。
## '''常宽凸体的极端点性质'''：证明了每个点都属于至多 \( d + 1 \) 个[[极端点]]的凸包内。
## '''常宽凸体的球面距离性质'''：证明了在常宽凸体中，任意两点之间的[[球面距离]]满足特定的条件。
# '''常宽与常直径球体的等价性问题'''：提出了一个问题，即是否每一个直径小于 \( \frac{\pi}{2} \) 的常直径球体也是一个常宽球体。

== 术语表 ==
这篇文章的术语表如下：
* [[球面体]]（Spherical body）：指在d维球面Sd中的一个凸集。
* [[半球]]（Hemisphere）：球面Sd与Ed+1中的闭半空间的共同部分。
* [[月牙]]（Lune）：两个不同的非相对半球G和H的交集中称为月牙。
* [[球面距离]]（Spherical distance）：球面上两点之间的较短部分的弧长。
* [[球面凸体]]（Spherical convex body）：在球面上没有一对对跖点属于C，并且对于任意a, b ∈ C，线段ab包含于C中。
* [[球面球]]（Spherical ball）：球面Sd中与d-1维大球的共同部分。
* [[球面宽度]]（Width of a spherical body）：对于支持凸体C的半球G，定义widthG(C)为包含C的最窄月牙的厚度。
* [[常宽体]]（Body of constant width）：如果对于每个支持C的半球G，widthG(C) = w，则称C为常宽体。
* [[球面直径]]（Diameter of a spherical body）：球面体C的直径是C中任意两点间的最大球面距离。
* [[球面凸包]]（Convex hull）：对于Sd中的任意集合A，conv(A)是包含A的最小凸集。
* [[球面厚度]]（Thickness of a lune）：月牙L的厚度定义为界定L的(d-1)维半球的中心之间的球面距离。
* [[球面极端点]]（Extreme point of a spherical body）：在球面凸体C中，如果不存在其他点使得该点位于连接这两点的线段上，则该点是极端点。
* [[球面支持半球]]（Supporting hemisphere）：如果C ⊂ Q且bd(C) ∩ bd(Q) ≠ ∅，则称半球Q从内部接触凸体C。
* [[球面相对内部]]（Relative interior of a convex set）：指凸集C在包含它的最小球面Sk中的内部。
* [[球面凸包]]（Convex hull）：对于Sd中的任意集合A，conv(A)是包含A的最小凸集。
* [[球面常宽体]]（Spherical body of constant width）：如果对于每个支持W的半球，W的宽度相同，则称W为常宽体。
* [[球面直径常数体]]（Spherical body of constant diameter）：如果满足直径等于某个常数w，并且对于每个边界点p存在另一个边界点p'使得距离等于w，则称为直径常数体。
* [[球面严格凸体]]（Strictly convex spherical body）：如果每个支持半球在W上支持超过一个点，则W不是严格凸的。
* [[球面常宽体的直径]]（Diameter of a body of constant width）：如果W是常宽体，则其直径等于其宽度。
* [[球面常直径体的宽度]]（Width of a body of constant diameter）：如果W是常直径体，则其宽度等于其直径。

== 参考文献 ==
这篇文章的主要参考文献如下：
* G. D. Chakerian, H. Groemer (1983). Convex bodies of constant width, Convexity and its applications, 49-96, Birkhauser, Basel.
** 提供了常宽凸体的基本概念和性质，为本文提供了理论基础。
* L. Danzer, B. Grünbaum, V. Klee (1963). Helly's theorem and its relatives, in Proc. of Symp. in Pure Math. vol. VII, Convexity, 1963, pp. 99–180.
** 讨论了Helly定理及其在凸体理论中的应用，对本文的几何分析有重要影响。
* M. Lassak (2015). Width of spherical convex bodies, Aequationes Math. 89 (2015), 555-567.
** 详细研究了球面凸体的宽度，为本文提供了直接的理论支持和方法论指导。
* M. Lassak, M. Musielak (未出版). Reduced spherical convex bodies, to appear (see also arXiv:1607.00132v1).
** 探讨了球面凸体的简化模型，为本文提供了相关的研究背景和参考。
* H. Hadwiger (1955). Kleine Studie zur kombinatorischen Geometrie der Sphäre, Nagoya Math. J. 8 (1955), 45–48.
** 对球面组合几何进行了初步研究，为本文提供了球面几何的基础理论。