查看“WikiEdge:ArXiv-1910.10248”的源代码

* '''标题'''：Uniqueness Results for Bodies of Constant Width in the Hyperbolic Plane
* '''中文标题'''：在双曲平面中的常宽体的唯一性结果
* '''发布日期'''：2019-10-22 21:59:04+00:00
* '''作者'''：M. Angeles Alfonseca, Michelle Cordier, Dan I. Florentin
* '''分类'''：math.MG, 28A75, 51M09, 51M10, 51M25, 51F99, 52A38, 52A55, 53A35
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/1910.10248v1
'''摘要'''：遵循Santal\'{o}的方法，我们证明了在给定测地线族上，常宽体、常投影长度或常截面长度的圆盘有几种特性。

== 问题与动机 ==
作者的研究问题包括：
* 在[[双曲平面]]中，是否存在两个不同的[[凸体]]具有相同的[[投影]]（或[[截面]]）？
* 在双曲平面中，一个具有恒定投影或截面的凸体是否一定是一个[[圆盘]]？
* 在双曲平面中，一个具有恒定[[宽度]]的凸体是否具有恒定的投影长度？
* 在双曲平面中，一个具有恒定宽度的凸体是否具有恒定的截面长度？
* 在双曲平面中，一个凸体的宽度与其在给定[[家族]]的[[测地线]]上的投影长度是否捕捉了不同的信息？
* 在双曲平面中，具有恒定宽度的凸体是否具有恒定的投影长度？
* 在双曲平面中，如何定义一个凸体的[[支撑函数]]？
* 在双曲平面中，如何唯一地从投影长度重构一个凸体？

== 背景介绍 ==
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
# '''几何层析成像在双曲平面中的应用'''：
#* [[几何层析成像]]是研究如何从低维信息（如截面或投影的面积）重建凸体的主要问题之一。
#* [[Aleksandrov定理]]表明，在[[欧几里得空间]]中，一个原点对称的凸体可以通过其投影的(n-1)维体积唯一确定。
#* 本文关注的是[[双曲平面]]H2中的重建问题，特别是唯一性问题，即是否存在两个具有相同投影（或截面）的凸体K和L。
# '''双曲平面中常宽体的研究'''：
#* 在[[双曲空间]]中，常宽体的概念与欧几里得空间不同，例如，双曲平面中的常宽体不一定在每条线上都有恒定的投影长度。
#* 文献中已经研究了双曲空间中的常宽体，并建立了一些与欧几里得结果相似的性质。
#* 本文通过研究双曲平面中凸体的截面或投影，来研究常宽体的性质。
# '''双曲平面中凸体的截面和投影'''：
#* 研究了双曲空间中凸体的截面问题，与[[Busemann-Petty问题]]相关。
#* 本文特别考虑了通过给定点的所有线上的截面或投影来研究常宽体。
综上所述，这篇文献的背景强调了在双曲平面中，从低维信息重建凸体的问题，以及常宽体在双曲几何中的独特性质和应用。

== 章节摘要 ==
这篇论文是关于[[双曲平面]]中[[恒宽体]]的唯一性研究，论文的主要内容可以概括如下：
# 引言
## [[几何层析学]]中的主要问题之一是从定量的低维信息（如截面或投影的面积）重建[[凸体]]。[[Aleksandrov定理]]是该领域的一个主要结果，证明了在[[Rn]]中，一个原点对称的凸体可以通过其投影的(n-1)维体积唯一确定。

# 定义和符号
## 论文在双曲平面[[H2]]的[[Poincaré圆盘模型]]和[[Poincaré上半平面模型]]中交替工作。定义了双曲平面的一些基本事实，例如两个点之间存在唯一的[[测地线]]，以及两种模型都是[[保角]]的。

# 辅助引理
## 论文陈述了一些关于双曲平面中凸体及其正交投影的基本度量事实。例如，一个凸体等于包含它的所有半平面的交集。

# 唯一重建结果
## 论文证明了圆盘在H2中可以通过以下任意两个属性唯一表征：
#* 原点对称性。
#* 恒宽。
#* 通过给定点的所有线上的恒定投影长度。
#* 通过给定点的所有线上的恒定截面长度。

# 附录
## 论文展示了一个双曲[[Reuleaux三角形]]具有恒宽但不是恒定的截面和投影长度。

== 研究方法 ==
这篇论文通过在[[双曲平面]]上研究[[凸体]]的[[几何特性]]，探讨了[[常宽体]]、[[常投影长度]]和[[常截面长度]]的性质。以下是该研究方法论的主要组成部分：
# '''几何特性定义与符号建立'''：
#* 在双曲平面H2上定义了凸体、常宽体、常投影长度和常截面长度等基本概念。
#* 引入了双曲平面的[[Poincaré圆盘模型]]和[[上半平面模型]]，以及相关的符号和术语。
# '''凸体的几何性质分析'''：
#* 利用[[双曲几何]]中的角度、垂直性和支撑双曲线等性质，分析了凸体的边界和支撑双曲线。
#* 研究了常宽体的边界上所有法双曲线都是双法线的性质。
#* 通过凸体的直径和最大宽度之间的关系，探讨了凸体的几何特性。
# '''辅助引理的证明'''：
#* 证明了凸体可以表示为包含它的所有半平面的交集。
#* 通过构造具体的例子，展示了在双曲平面上，具有相同投影长度的非全等凸体的存在。
#* 利用[[Santaló引理]]，证明了常宽凸体的任意两条法线在凸体内部相交。
# '''主要定理的证明'''：
#* 证明了如果一个凸体是原点对称且具有常宽，则它必然是一个圆盘。
#* 证明了如果一个凸体具有常宽，并且所有通过原点的双曲线上的投影长度都相等，则它必然是一个圆盘。
#* 探讨了在双曲平面上，常宽体不一定具有常投影长度的性质，这与[[欧几里得平面]]的情况不同。
#* 通过反例，展示了即使在双曲平面上，具有常宽的凸体也可能不具有常投影长度。
# '''双曲平面上的特殊构造'''：
#* 构造了具有常宽但不同投影长度的双曲[[Reuleaux三角形]]。
#* 通过计算，展示了双曲Reuleaux三角形的宽度和在特定双曲线上的投影长度。
#* 讨论了如何通过微扰圆盘构造具有常宽但投影长度不恒定的C1光滑体。
这篇论文的方法论分析结果表明，在双曲平面上，圆盘是唯一满足常宽和常投影长度的凸体，这一发现对于理解双曲几何中的凸体特性具有重要意义。

== 研究结论 ==
根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：
# '''双曲平面中常宽体的唯一性结果'''：论文通过[[Santaló]]的方法证明了在[[双曲平面]]中，满足常宽、常投影长度或给定族的[[测地线]]上的常截面长度的[[凸体]]的多个特征化。
## '''定理 4.1'''：如果一个[[C1光滑]]的凸体K是原点对称的并且具有常宽，则K是一个[[圆盘]]。
## '''定理 4.4'''：如果一个C1光滑的凸体K包含原点在其内部，并且所有通过原点的测地线上的投影长度都是常数，则K是一个圆盘。
## '''推论 4.5'''：如果一个凸体K具有常宽，包含原点在其内部，并且所有通过H0的截面长度都是常数，则K是一个圆盘。
## '''定理 4.7'''：如果一个凸体K包含原点在其内部，并且所有通过H0的测地线的截面和投影长度都是常数，则K是一个圆盘。
# '''双曲投影与欧几里得投影的区别'''：论文指出，在双曲平面中，常宽体的投影长度和宽度是两个不同的信息来源，这与[[欧几里得平面]]不同。
## '''命题 4.2'''：证明了常宽体的最大投影长度等于其宽度，并且仅在体的[[法线场]]中达到。
## '''命题 4.8'''：展示了知道一个凸体在Hp中的正交和非正交投影的长度可以唯一确定该体。
# '''双曲Reuleaux三角形的常宽性质'''：论文展示了一个具有常宽但非恒定截面和投影长度的双曲[[Reuleaux三角形]]。
这些结论为理解双曲平面中凸体的几何特性提供了重要的见解，并且指出了圆盘在这些特性中的独特地位。

== 术语表 ==
这篇文章的术语表如下：
* [[凸体]]（Convex body）：在双曲平面中，一个凸体是指其边界不能被任何一条测地线相交超过两点的紧致集合。
* [[双曲平面]]（Hyperbolic plane）：双曲平面是一种非欧几里得几何平面，其上三角形内角和大于180度。
* [[测地线]]（Geodesic）：在双曲平面中，测地线是连接两点的最短路径，通常表现为圆弧。
* [[常宽体]]（Body of constant width）：如果一个凸体在双曲平面中对于所有通过某点的测地线都有相同的投影长度，则称其为常宽体。
* [[投影长度]]（Projection lengths）：一个凸体在特定测地线上的投影长度是指该凸体在该测地线上的投影所覆盖的长度。
* [[支持测地线]]（Supporting geodesic）：如果一条测地线与凸体的边界仅有一个公共点或包含边界的一段弧，则称这条测地线为该凸体的支持测地线。
* [[法测地线]]（Normal geodesic）：对于凸体边界上的一点，法测地线是垂直于该点处边界的测地线。
* [[双法测地线]]（Double normal geodesic）：如果一条测地线在两点处垂直相交凸体的边界，则称这条测地线为双法测地线。
* [[法向场]]（Normal field）：法向场是指所有法测地线的集合。
* [[双曲投影]]（Hyperbolic projection）：在双曲平面中，一个凸体在一条测地线上的投影定义为与该测地线相交的凸体边界点的集合。
* [[起源对称]]（Origin-symmetric）：如果一个凸体对于每个点x，其相反点-x也在该凸体中，则称该凸体为起源对称。
* [[直径]]（Diameter）：凸体中任意两点间的最大距离称为该凸体的直径。
* [[宽度]]（Width）：在双曲平面中，一个光滑凸体的宽度定义为其在法测地线上的投影长度。
* [[等弦点]]（Equichordal point）：如果一个凸体通过某点的所有测地线交点长度相等，则称该点为等弦点。
* [[C1-光滑]]（C1-smooth）：如果一个凸体的边界是连续可微的，则称该凸体为C1-光滑。
* [[双曲Reuleaux三角形]]（Hyperbolic Reuleaux triangle）：由三个等距点出发，每个点为中心画圆，形成的三角形，具有常宽特性。
* [[双曲半径]]（Hyperbolic radius）：在双曲几何中，圆的半径定义为圆心到圆上任意一点的距离。
* [[双曲中心]]（Hyperbolic center）：在双曲几何中，圆的中心定义为圆上所有点到该点距离相等的点。
* [[双曲圆]]（Hyperbolic circle）：在双曲平面中，以一点为中心，所有到该点距离相等的点的集合。
* [[双曲面积]]（Hyperbolic area）：在双曲平面中，一个区域的面积可以通过积分测地线长度来计算。

== 参考文献 ==
这篇文章的主要参考文献如下：
* Aleksandrov, A. D. (2005). "Convex Polyhedra", Springer.
** 为本文提供了凸体在欧几里得空间中的基本理论。
* Berger, M. (2009). "Geometry", Springer Universitext.
** 提供了双曲几何的基础知识和模型。
* Gallego, E., Reventós, A., Solanes, G., & Teufel, E. (2008). "Width of Convex Bodies in Spaces of Constant Curvature", Manuscripta Mathematica, 126(1), 115–134.
** 探讨了常曲率空间中凸体的宽度，为本文提供了理论基础。
* Santaló, L. A. (1945). "Note on Convex Curves on the Hyperbolic Plane", Bulletin of the American Mathematical Society, 51, 405–412.
** 为本文提供了双曲平面上凸曲线的重要性质。
* Yaskin, V. (2006). "The Busemann-Petty Problem in Hyperbolic and Spherical Spaces", Advances in Mathematics, 203(2), 537–553.
** 探讨了双曲和球面空间中的Busemann-Petty问题，对本文的研究有重要影响。