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* '''标题'''：Small volume bodies of constant width
* '''中文标题'''：常宽度小体积物体
* '''发布日期'''：2024-05-28 18:14:00+00:00
* '''作者'''：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, Andriy Prymak, Danylo Radchenko
* '''分类'''：math.MG, 52A20, 52A40, 28A75, 49Q20
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/2405.18501v1
'''摘要'''：对于每一个足够大的$n$，我们明确构造了一个常宽为$2$的体，其体积小于$0.9^n \text{Vol}(\mathbb{B}^{n}$)，其中$\mathbb{B}^{n}$是$\mathbb{R}^{n}$中的单位球。这回答了O.~Schramm的一个问题。

== 问题与动机 ==
作者的研究问题包括：
* 如何构造一个在 \( n \) 维[[欧几里得空间]] \( \mathbb{R}^n \) 中宽度恒定为 2 的[[凸体]]，其体积小于 \( 0.9n \) 倍的单位[[球体]]积？
* 能否证明存在一个正数 \( \epsilon > 0 \) 使得对于所有 \( n \geq 2 \)，常宽凸体的有效率 \( r_n \) 都小于 \( 1 - \epsilon \)？
* 能否通过显式构造一个凸体 \( M \) 来证明 \( r_n < 0.9 \) 对于足够大的 \( n \) 成立？

== 背景介绍 ==
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
# '''常宽体的研究'''：
#* [[常宽体]]是一类特殊的[[凸体]]，其在任何方向上的投影长度都相等。这类几何体在[[数学]]和[[工程学]]中有着广泛的应用。
#* 常宽体的体积和有效半径之间的关系是研究的重点之一，其中有效半径定义为使得凸体的体积等于单位球体积的相应倍数的半径。
# '''Urysohn不等式的应用'''：
#* [[Urysohn不等式]]提供了常宽体有效半径的一个上界，这对于理解常宽体的性质至关重要。
#* 文献中提到了[[Schramm]]对于常宽体有效半径的下界进行了研究，并提出了一个非平凡的下界。
# '''Schramm问题的提出'''：
#* Schramm提出了一个问题，即是否存在一个正数ε，使得所有维度n的常宽体2的有效半径都小于1-ε。
#* 这个问题对于理解常宽体在高维空间中的性质具有重要意义。
# '''本文的贡献'''：
#* 本文通过构造一个具体的常宽体2，并证明其体积小于0.9n倍的单位球体积，从而回答了Schramm的问题。
#* 这一结果不仅解决了一个长期存在的问题，也为常宽体的体积和有效半径之间的关系提供了新的见解。
综上所述，这篇文献的背景强调了常宽体在数学几何中的重要性，以及对于其体积和有效半径之间关系的深入研究。

== 章节摘要 ==
这篇论文是关于在[[高维空间]]中具有恒定宽度的[[凸体]]的研究，论文的主要内容可以概括如下：
# '''引言'''：
#* 定义了在n维[[欧几里得空间]]中具有恒定宽度w的凸体K，即K在任何线上的投影长度都等于w。
#* 引入了有效半径r的概念，即Vol(K) = Vol(rBn)，其中Bn是[[单位球体]]。
#* 引用了[[Urysohn不等式]]，并提到了[[Schramm]]关于有效半径的下界问题。

# '''预备知识和M的构造'''：
#* 定义了单位球面Sn−1和正交象限Rn+。
#* 构造了集合S，L，并定义了凸体M。
#* 通过辅助声明1证明了如果v属于M，则(|v+|, |v−|)属于集合A。
#* 证明了M是具有恒定宽度2的凸体。

# '''对Vol(M)的估计'''：
#* 为了证明定理，估计了凸体M的体积。
#* 通过分析M在每个坐标象限中的体积来估计M的总体积。

# '''结论'''：
#* 证明了对于足够大的n，存在一个常数σ < 0.9，使得Vol(M) ≤ (n + 1)σnΩn。
#* 通过选择合适的α和β值，证明了有效半径rn小于0.9。
#* 提供了ε > 0的存在性，使得对于所有n ≥ 2，rn ≤ 1 − ε。

== 研究方法 ==
这篇论文通过构造具有恒定宽度的[[凸体]]并计算其体积，探讨了在[[高维空间]]中，具有恒定宽度的凸体的体积可以远小于[[单位球]]体积的问题。以下是该研究方法论的主要组成部分：
# '''构造凸体M'''：
#* 定义了凸体M的构造方法，通过在单位球的[[正交]]象限中添加特定的[[向量]]集合来形成凸体。
#* 通过[[数学证明]]，展示了M具有恒定宽度2的性质。
# '''体积计算'''：
#* 利用球体和凸体的交集体积公式，计算了凸体M在每个坐标象限中的体积。
#* 通过[[积分]]和求和，得到了凸体M总体积的上界估计。
# '''数学证明'''：
#* 通过[[几何]]和[[代数]]方法，证明了凸体M的体积小于0.9倍的单位球体积。
#* 使用了[[不等式]]和[[优化技术]]，确定了最小的有效半径rn。
# '''数值验证'''：
#* 通过选择特定的参数值，验证了凸体M的体积上界小于0.9。
#* 利用数值方法，计算了s的最小值，进一步支持了理论结果。
# '''理论推导'''：
#* 通过构造函数和不等式，推导出了体积上界的数学表达式。
#* 利用[[数学归纳法]]和代数操作，证明了体积上界小于0.9。
这篇论文的方法论分析结果表明，对于足够大的n，可以构造出体积远小于单位球体积的具有恒定宽度的凸体，从而回答了[[Schramm]]提出的问题。

== 研究结论 ==
根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：
# '''常宽体的体积下界'''：对于足够大的维度 \( n \)，作者明确构造了一个常宽体 \( M \)，其体积小于 \( 0.9n \) 倍的单位球 \( B_n \) 的体积。
# '''有效半径的下界'''：作者证明了对于所有足够大的 \( n \)，常宽体 \( M \) 的有效半径 \( r_n \) 小于 \( 0.9 \)。
# '''构造方法的验证'''：通过构造的常宽体 \( M \)，作者证明了 \( M \) 在任何方向上的投影长度至少为2，满足常宽体的定义。
# '''体积估计的精确性'''：作者通过计算每个坐标象限中 \( M \) 的体积，给出了 \( M \) 体积的上界估计。
# '''有效半径的数值界限'''：作者通过选择特定的 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 值，证明了 \( r_n \) 的上界小于 \( 1.8 \)。
# '''常宽体的几何特性'''：作者展示了构造的常宽体 \( M \) 在几何上的特性，包括其对称性和在不同方向上的宽度。
# '''数学问题的解答'''：作者回答了 [[Schramm]] 提出的问题，即是否存在一个常数 \( \epsilon > 0 \) 使得 \( r_n \leq 1 - \epsilon \) 对所有 \( n \geq 2 \) 成立，并给出了肯定的答案。
# '''数学证明的严谨性'''：作者通过详细的数学证明和构造，确保了研究结果的严谨性和有效性。

== 术语表 ==
这篇文章的术语表如下：
* [[常宽体]]（Body of constant width）：在n维欧几里得空间中，如果一个凸体K在任何直线上的投影长度都等于w，则称K具有常宽w。
* [[有效半径]]（Effective radius）：如果凸体K的体积等于单位球Bn的r倍，则称K具有有效半径r。
* [[Urysohn不等式]]（Urysohn’s inequality）：任何常宽为2的体的有效半径至多为1。
* [[最小有效半径]]（Smallest effective radius）：在Rn中，常宽为2的体的最小有效半径记为rn。
* [[非平凡下界]]（Non-trivial lower bound）：Schramm建立了rn的非平凡下界rn ≥ 3/(3 + 2/(n+1) - 1)。
* [[正交象限]]（Positive orthant）：定义Rn +为正交象限，即所有坐标都非负的点的集合。
* [[单位球]]（Unit ball）：在Rn中，单位球Bn是所有模长为1的点的集合。
* [[单位球的体积]]（Volume of the unit ball）：记为Ωn，是单位球Bn的体积。
* [[单位球的表面积]]（Surface area of the unit sphere）：记为ωn，是单位球Bn的表面积。
* [[Reuleaux三角形]]（Reuleaux triangle）：一种具有两个直角和一个60度角的几何形状，用于描述某些凸体的直径。
* [[球壳]]（Spherical shell）：球体的一层薄壳，用于描述球体的一部分。
* [[坐标象限]]（Coordinate orthant）：由具有固定正负号的坐标组成的空间区域。
* [[体积估计]]（Volume estimate）：对凸体M的体积进行的数学估计。
* [[球体的交集]]（Intersection of balls）：两个或多个球体相交的区域。
* [[凸体]]（Convex body）：一个几何体，其中任意两点之间的线段完全包含在该几何体内。
* [[直径]]（Diameter）：在所有可能的方向上，凸体最远两点之间的最大距离。
* [[投影长度]]（Length of the projection）：凸体在特定方向上的投影的长度。
* [[体积]]（Volume）：几何体所占据的空间的度量。
* [[坐标正交象限]]（Orthant）：由具有固定正负号的坐标轴定义的空间区域。
* [[球体的体积]]（Volume of the ball）：单位球Bn的体积，记为Ωn。

== 参考文献 ==
这篇文章的主要参考文献如下：
* Kalai, Gil (2015). "Some old and new problems in combinatorial geometry I: around Borsuk’s problem", Surveys in combinatorics 2015, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 424, Cambridge Univ. Press, Cambridge, pp. 147–174.
** 提供了组合几何中一些经典和现代问题的概述，为本文提供了理论背景和问题设定。

* Schneider, Rolf (2014). "Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory", expanded edition, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 151, Cambridge University Press, Cambridge.
** 介绍了凸体的布劳恩-明可夫斯基理论，为本文提供了理论基础。

* Schramm, Oded (1988). "On the volume of sets having constant width", Israel J. Math. 63 (2), 178–182.
** 探讨了具有恒定宽度的集合的体积问题，为本文的研究提供了重要的参考。

* Arman, A., Bondarenko, A., Nazarov, F., Prymak, A., and Radchenko, D. (2024). "Small Volume Bodies of Constant Width", arXiv:2405.18501v1 [math.MG].
** 这是本文的自引，表明本文在该领域内具有原创性和重要性。

* Urysohn, Pavel (1927). "Sur un espace métrique universel", Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, 184, 242–243.
** 虽然本文没有直接引用Urysohn的工作，但Urysohn的不等式在凸体理论中非常重要，可能间接影响了本文的某些论证。