WikiEdge:ArXiv-2402.04190

• 标题：Soft cells and the geometry of seashells
• 中文标题：软单元与海贝壳的几何学
• 发布日期：2024-02-06 17:48:02+00:00
• 作者：Gábor Domokos, Alain Goriely, Ákos G. Horváth, Krisztina Regős
• 分类：physics.app-ph, math.MG, 05B45 52C20 52C22
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2402.04190v1

摘要：几何的一个核心问题是用简单结构平铺空间。经典的解决方案，如平面的三角形、正方形和六边形，以及三维空间的立方体和其他多面体，都是由尖角和平面构建的。然而，自然界中的许多平铺都以曲边、非平面和少数（如果有的话）尖角的形状为特征。一个重要的问题就是将原型的尖角平铺与较软的自然形状联系起来。在这里，我们通过引入一种新的形状类别——“软单元”，解决了这个问题，这种形状最小化了尖角的数量，并以“软平铺”的方式填充空间。我们证明了无穷类的多面体平铺可以平滑地变形为软平铺，并且我们构造了所有与二维和三维点阵相关的 Dirichlet-Voronoi 单元与其软的版本。值得注意的是，这些理想的软形状，源于几何，广泛存在于自然界，从细胞到贝壳。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何将传统的具有尖锐角的几何铺砌与自然界中观察到的边缘和面都呈曲线形状的柔软铺砌联系起来？
• 如何定义和构造一类新的铺砌形状——软单元（soft cells），以最小化尖锐角的数量并作为软铺砌填充空间？
• 如何证明无限多的多面体铺砌可以平滑地变形为柔软铺砌？
• 如何构建与点格点相关的所有二维和三维狄利克雷-沃罗诺伊单元（Dirichlet-Voronoi cells）的软版本？
• 如何量化和最大化三维形状的柔软度，并探索其与物理实现的关系？
• 在自然界中，软单元（soft cells）的几何形态如何与生物结构的演化联系起来？
• 如何在艺术和建筑中找到软单元格的实例，并理解其美学和实用性？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

• 空间填充模式
  • 空间填充模式，即由不重叠的有限区域组成的模式，其历史可以追溯到一万多年前砌体墙的出现。然而，这类模式在自然界中更为古老。
  • 作者提出了一种新的填充模式，称为软填充（soft tilings），它由高度弯曲的单元格组成，这些单元格最小化了尖角的数量。
• 几何学中的软填充与软单元
  • 几何学中的传统解决方案，如平面上的三角形、正方形和六边形，以及三维空间中的立方体和其他多面体，都是由尖锐的角和平面构成的。
  • 然而，自然界中的许多镶嵌图案具有弯曲的边缘、非平面的面和很少的尖角，这引发了将典型的尖锐镶嵌与更柔和的自然形状联系起来的重要问题。
  • 作者通过引入软单元的概念来解决这一问题，这些单元格通过最小化尖角的数量来填充空间，形成软镶嵌。
  • 证明了一类无限的多面体镶嵌可以平滑地变形为软镶嵌，并构建了与点格点相关的所有Dirichlet-Voronoi单元的软版本。
  • 这些理想的软形状在自然界中广泛存在，从细胞到贝壳都有发现。
• 自然界中的软单元格
  • 在自然界中，维持物理单元的尖角是困难和昂贵的，因为表面张力和弹性自然倾向于平滑尖角。
  • 例如，软z-单元是描述如尖端生长等自然形状演变过程的理想模型，也描述了通过毛细血管的血细胞的形状。
  • 特别引人注目的是，在某些头足类动物的室状贝壳中发现了这种结构，如已经灭绝的菊石和现存的鹦鹉螺。

综上所述，这篇文献的背景强调了在几何学和自然界中探索软单元的重要性，以及它们在描述自然现象中的潜力。

章节摘要

这篇论文是关于软单元和海贝的几何形态的研究，其主要内容可以概括如下：

1. 引言
   1. 从柏拉图到普拉托：具有平坦和轻微弯曲面的细胞：讨论了柏拉图关于五个规则多面体填充空间的理论，以及亚里士多德对此的修正；提到了非欧几里得蜂窝结构中所有柏拉图立体都能填充空间的观点。
   2. 大曲率和软铺砌的直观概念：引入了允许面和顶点之间有接触点（零角度）的软铺砌概念；讨论了具有大曲率的软细胞可能比多面体更少的角。
2. 软铺砌和软细胞
   1. 二维中的软铺砌：介绍了二维中软铺砌的例子，如平滑的肌肉细胞、贝壳室和斑马条纹。
   2. 三维中的软铺砌：讨论了三维空间中可以构建没有尖角的单形细胞。
   3. 边缘弯曲算法和主要结果：描述了通过边缘弯曲算法从多面体细胞构造软细胞的过程。
3. 自然中的软细胞
   1. 室贝的软几何形态：探讨了某些头足类动物的室贝中的软z-细胞。
   2. 鹦鹉螺的腔室：讨论了鹦鹉螺的腔室，这是最著名的室贝之一。
4. 总结和展望
   1. 开放性问题：提出了关于软细胞几何形态及其与自然联系的几个开放性问题。
5. 材料和方法
   1. z-细胞的构造：描述了如何通过分割无限棱柱来构造z-细胞。
   2. 边缘弯曲：详细说明了边缘弯曲算法如何工作；如何实现高软度值；讨论了如何通过边缘弯曲过程实现高软度值。
6. 致谢
   1. 作者感谢Lajos Czeglédy在3D数据渲染和展示方面的帮助；提到了支持这项研究的资金来源。

研究方法

这篇论文通过综合分析几何建模、算法设计和自然实例的比较，探讨了软单元（soft cells）在自然界中的出现和应用。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 几何建模
   • 引入了软单元格的概念，通过最小化锐角的数量来填充空间，从而创建了一类新的几何形状。
   • 利用Dirichlet-Voronoi单元和点格的概念，构建了二维和三维空间中的软单元格模型。
   • 通过z-单元的构造方法，将无限棱柱分割成有限的部分，以模拟自然界中的结构，如贝壳的腔室。
2. 算法设计
   • 开发了边缘弯曲算法，用于将多面体单元格平滑变形为软单元格，同时保持其组合结构。
   • 通过Dubins路径和最小曲率约束，设计了实现高软度值的算法，用于优化软单元格的形状。
   • 通过组合几何和拓扑的概念，提出了一种连续度量软度的方法，并应用于3D形状。
3. 自然实例的比较
   • 通过MicroCT技术获取的三维图像，分析了头足类动物贝壳的腔室几何形状，并与软z-单元格模型进行了比较。
   • 探讨了软单元格在自然界中的出现，如在细胞生长、贝壳腔室和血细胞中观察到的模式。
   • 将软单元格的概念与艺术和建筑作品中的曲线形式进行了比较，展示了其在不同领域的应用。
4. 综合分析
   • 将几何建模、算法设计和自然实例的比较结果结合起来，提出了软单元格在自然界中的普遍性和重要性。
   • 讨论了软单元格的数学特性和它们在生物学结构中的应用，以及如何通过算法设计来模拟和优化这些形状。

这篇论文的方法论分析结果表明，软单元格作为一种新的几何形状，不仅在数学上具有重要意义，而且在自然界和人类艺术创作中也有广泛的应用潜力。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

• 软细胞和海贝壳的几何形态
  • 作者引入了软单元这一新的几何形态类别，这类细胞通过最小化锐角的数量来填充空间，展示了自然界中从细胞到贝壳的多种形态。
• 软铺砌和软细胞的构建
  • 证明了无限多的多面体铺砌可以平滑地变形为软铺砌，并构建了与点格点相关的所有二维和三维狄利克雷-沃罗诺伊单元的软版本。
• 自然界中的软细胞
  • 软单元在自然界中非常丰富，从细胞生长到贝壳的腔室，这些理想化的软形状在自然界中广泛存在。
• 软细胞的数学模型和物理实现
  • 通过引入软度的连续尺度，作者能够将软单元与物理实现联系起来，并探讨了如何通过边缘弯曲算法最大化软度。
• 软细胞在艺术和建筑中的应用
  • 软单元的概念不仅在自然界中有所体现，也在艺术和建筑作品中有所发现，如扎哈·哈迪德的建筑作品。
• 软细胞的数学问题和未来研究方向
  • 提出了关于软单元几何形态及其与自然联系的一系列问题，这些问题的答案可能会进一步阐明其几何特性。

术语表

这篇文章的术语表如下：

• 软单元（Soft cells）：指一类新的几何形状，它们通过最小化锐角的数量来填充空间，具有高度弯曲的单元格。
• 软铺砌（Soft tilings）：由软单元组成的铺砌，它们在二维和三维欧几里得空间中填充空间，并且具有最少数量的锐角。
• z-单元（z-cells）：一种紧凑形状，其副本可以无间隙、无重叠地填充一个柱体，通常用于模拟如鹦鹉螺壳室等自然形状。
• 边缘弯曲算法（Edge bending algorithm）：一种从多面体单元开始，通过平滑弯曲每条边来创建软单元的方法。
• Dirichlet-Voronoi单元（Dirichlet-Voronoi cell）：与点格相关的所有点的凸包，用于生成软单元的几何模型。
• 软度（Softness）：用于衡量3D形状柔软程度的连续尺度，定义为滚动半径与表面积的比值。
• Seilacher模型（Seilacher models）：用于描述壳室几何形状的两种定性模型，包括纸张模型和气球模型。
• 空间填充（Space-filling）：指铺砌中的单元格完全填充空间，不留空隙。
• 非软单元（Non-soft cells）：指具有锐角和较少弯曲面的单元格，与软单元相对。
• 单形（Monohedral）：指由相同多面体单元组成的铺砌。
• 单形软铺砌（Monohedral soft tiling）：由相同软多面体单元组成的铺砌。
• 顶点多面体（Vertex polyhedron）：在铺砌中，节点处多面体单元顶点重叠形成的多面体。
• 哈密顿回路（Hamiltonian circuit）：在多面体的边沿线上访问每个顶点恰好一次的循环路径。
• 双胞多面体（Dual polyhedron）：与给定多面体相关联的多面体，使得原多面体的顶点对应于双胞多面体的面，反之亦然。
• 软z-单元（Soft z-cells）：一种特殊的软单元，填充柱形容器而不留下空隙。
• C1-光滑性（C1-smoothness）：指形状至少具有连续的一阶导数，用于描述二维铺砌中的形状。
• 微分几何（Differential geometry）：研究曲线、曲面以及更高维流形的微分性质的数学分支。
• 非欧几里得铺砌（Non-Euclidean honeycombs）：在非欧几里得空间中填充空间的铺砌。
• 泡沫几何模型（Foam geometric models）：用于模拟泡沫结构的几何模型，如Kelvin结构和Weaire-Phelan结构。