WikiEdge:ArXiv-1905.06369

• 标题：When a spherical body of constant diameter is of constant width?
• 中文标题：当一个恒定直径的球体是恒定宽度的？
• 发布日期：2019-05-15 18:22:11+00:00
• 作者：Marek Lassak
• 分类：math.MG, 52A55, 82D25
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1905.06369v1

摘要：摘要：设$D$是直径为$\delta$的凸体，其中$0 < \delta < \frac{\pi}{2}$，在$d$维球面上。我们证明，只有在以下两种情况下，$D$的直径为常数$\delta$当且仅当它的宽度为常数$\delta$。第一种情况是$D$是光滑的。第二种情况是$d=2$。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 一个球面上的常直径凸体何时是常宽度的？
• 在什么情况下，一个球面上的凸体既是常直径的也是常宽度的？
• 对于二维球面，常直径凸体是否必然是常宽度的？
• 光滑的球面凸体是否总是常宽度的？
• 对于非光滑的球面凸体，常直径条件是否意味着常宽度？

背景介绍

这篇论文的背景主要集中在以下几个方面：

1. 球面几何中的凸体问题：
   • 球面几何是研究球面上点、线、面之间关系的几何学分支，它在数学、物理和工程学等领域有着广泛的应用。
   • 凸体是球面几何中一类重要的几何对象，具有许多有趣的性质和应用。
   • 球面上的凸体通常通过其直径、宽度等几何特征来描述。
2. 常宽凸体与常直径凸体的关系：
   • 常宽凸体是指在球面上，所有支持它的半圆面所确定的宽度都相等的凸体。
   • 常直径凸体是指在球面上，任意两点之间的最大距离（直径）相等的凸体。
   • 研究常宽凸体与常直径凸体之间的关系，有助于深入理解球面几何中凸体的性质。
3. 球面凸体的分类与性质：
   • 球面上的凸体可以根据其是否光滑、是否严格凸等性质进行分类。
   • 光滑凸体的边界点没有尖锐角，而严格凸体的边界上不包含任何弧段。
   • 研究不同类型凸体的性质，对于解决球面几何中的一些基本问题具有重要意义。
4. 球面几何在其他领域的应用：
   • 球面几何在天文学、地球科学、导航和通信等领域有着广泛的应用。
   • 例如，在天文学中，球面几何可以用来描述天体的位置和运动；在地球科学中，可以用来分析地球的磁场和重力场。
   • 球面凸体的性质研究，对于这些领域中的一些实际问题具有指导意义。

综上所述，这篇论文的背景强调了球面几何中凸体的分类、性质以及它们之间的关系，以及这些几何对象在其他科学领域的应用价值。

章节摘要

这篇论文是关于球面几何中常宽和常直径凸体的研究，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言
   • 论文讨论了球面几何中凸体的常宽和常直径的概念。
   • 引入了球面凸体的定义，包括球面距离、球面凸体、球面宽度等概念。
2. 球面几何基础
   • 定义了单位球面、子球面、大圆、对极点等基本几何概念。
   • 讨论了球面凸体的性质，包括凸体的边界、光滑点和锐角点。
   • 介绍了球面凸体的宽度和直径的定义。
3. 常直径球面凸体
   • 提出了常直径球面凸体的定义，并讨论了其性质。
   • 证明了常直径凸体是严格凸的。
   • 证明了在二维球面上，任意两个直径弦必定相交。
4. 常直径与常宽度的关系
   • 证明了在二维球面上，常直径凸体等价于常宽度凸体。
   • 讨论了在高维球面上，常直径凸体与常宽度凸体的关系。
5. 结论
   • 论文总结了在二维球面上，常直径凸体与常宽度凸体是等价的。
   • 提出了对于非光滑的常直径凸体，其是否为常宽度凸体的问题仍然是一个开放性问题。

研究方法

这篇论文通过数学证明和几何分析，探讨了在球面上具有恒定直径的凸体是否也具有恒定宽度的问题。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 数学定义和概念回顾：
   • 回顾了球面几何中凸体的基本概念，包括球面凸体、直径、宽度、球面距离等。
   • 定义了球面上凸体的直径和宽度，并讨论了它们之间的关系。
2. 几何性质的证明：
   • 证明了如果一个凸体在球面上具有恒定直径，则它必须是严格凸的。
   • 证明了在二维球面上，具有恒定直径的凸体的任意两条直径弦必然相交。
   • 证明了如果一个凸体在球面上的边界点是光滑的，并且被一个半球面支撑，则该凸体在该半球面上的宽度等于其直径。
3. 主要定理的证明：
   • 证明了在球面上的光滑凸体，如果具有恒定直径，则必然具有恒定宽度。
   • 证明了在二维球面上，具有恒定直径的凸体必然具有恒定宽度。
   • 讨论了这些结果对于非光滑凸体和直径小于π/2的情况的适用性。
4. 极体和支撑半球面的关系分析：
   • 利用极体的概念，建立了支撑半球面、凸体边界点和直径弦之间的一一对应关系。
   • 通过几何构造和分析，证明了对于二维球面上的凸体，每个支撑半球面都唯一确定一条直径弦。

这篇论文的方法论分析结果表明，在球面上具有恒定直径的凸体在特定条件下（如光滑性或二维性）也具有恒定宽度，这为理解球面几何中凸体的性质提供了新的视角。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 常直径球面体与常宽度球面体的关系：证明了在二维球面上，一个凸体如果直径恒定，则其宽度也必然恒定。
   1. 光滑凸体的常直径与常宽度：证明了在任何维度的球面上，如果一个光滑凸体的直径恒定，则其宽度也必然恒定。
   2. 严格凸性：证明了具有常直径的凸体必然是严格凸的。
   3. 直径的交点：证明了在二维球面上，具有常直径的凸体的任意两条直径弦必然相交。
   4. 支持半球的宽度：证明了如果一个凸体在其二维球面上的边界点处具有常直径，则通过该点的支持半球所确定的宽度等于该直径。
2. 二维球面上的常直径与常宽度：特别地，证明了在二维球面上，一个凸体如果直径恒定，则其宽度也必然恒定。
   1. 支持半球与直径弦的一一对应：证明了对于二维球面上的任意凸体，其支持半球、边界上的点以及直径弦之间存在一一对应关系。

这些结论为理解球面几何中凸体的常直径和常宽度属性提供了重要的理论基础。

术语表

这篇文章的术语表如下：

• 球面几何（Spherical geometry）：研究球面上点、线、面之间关系的几何学分支。
• 凸体（Convex body）：在球面上，如果一个集合与其任意两点间的最短弧段都包含在该集合内，则称为凸体。
• 直径（Diameter）：球面上两点间最长的弧段。
• 宽度（Width）：由支持凸体的两个相对的半球体相交形成的月牙形区域的厚度。
• 常宽体（Body of constant width）：所有宽度都相等的球面凸体。
• 常直径体（Body of constant diameter）：所有直径都相等的球面凸体。
• 球面距离（Spherical distance）：球面上两点间的最短弧段长度。
• 球面球（Spherical ball）：以球面上一点为中心，半径为定值的球面凸体。
• 半球体（Hemisphere）：球面球面半径为π/2的特殊情况。
• 月牙（Lune）：两个不同的半球体相交形成的区域。
• 极体（Polar）：一个凸体的极体是包含所有支持该凸体的半球体中心的集合。
• 光滑点（Smooth point）：如果一个半球体恰好在一个凸体的边界点上支持该凸体，则该点称为光滑点。
• 锐点（Acute point）：如果一个凸体的边界点被多个半球体支持，则该点称为锐点。
• 严格凸体（Strictly convex body）：边界上不包含任何弧段的凸体。
• 直径弦（Diametral chord）：球面凸体中直径对应的弦。
• 对径点（Diametrically opposed points）：球面凸体中直径两端的点。
• 球面凸体（Spherical convex body）：球面上的凸体。
• 球面子球（Spherical (d − 1)-dimensional ball）：球面上的(d − 1)维凸体。
• 球面子球面（Spherical subsphere）：球面上的子球面。
• 球面距离（Spherical distance）：球面上两点间的最短弧段长度。

参考文献

这篇文章的主要参考文献如下：

• Chakerian, G. D., & Groemer, H. (1983). Convex bodies of constant width. In Convexity and its Applications (pp. 49–96). Birkhauser, Basel.
  • 提供了关于常宽凸体的详细理论基础，为本文提供了重要的理论支持。
• Harris, J. W., & Stocker, H. (1998). Spherical Geometry, 4.9 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, pp. 108-113.
  • 为本文提供了球面几何的基本概念和背景知识。
• Han, H., & Nishimura, T. (2017). Self-dual Wulff shapes and spherical convex bodies of constant width π/2, J. Math. Soc. Japan 69, 1475–1484.
  • 讨论了常宽球面凸体在Wulff形状识别中的应用，为本文提供了实际应用背景。
• Lassak, M. (2015). Width of spherical convex bodies, Aequationes Math. 89, 555–567.
  • 深入探讨了球面凸体的宽度问题，为本文的研究提供了直接的理论参考。
• Lassak, M., & Musielak, M. (2018). Spherical bodies of constant width, Aequationes Math. 92, 627–640.
  • 研究了球面常宽体的性质，为本文提供了重要的理论支撑。