WikiEdge:ArXiv-2106.00118

• 标题：Approximation of Spherical Bodies of Constant Width and Reduced Bodies
• 中文标题：常宽球体和约化体的近似
• 发布日期：2021-05-31 22:11:14+00:00
• 作者：Marek Lassak
• 分类：math.MG, 52A55
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2106.00118v2

摘要：我们提出了 Blaschke 定理的球面版本，即任何宽度为 $w < \frac{\pi}{2}$ 的恒宽体都可以在 Hausdorff 距离意义上被一个只由半径为 $w$ 的圆弧构成的恒宽体尽可能好地逼近。这是我们关于球面约化体逼近定理的一个特例。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何将平面上的Blaschke定理推广到球面上？
• 如何在球面上定义和构造具有恒定宽度的凸体？
• 如何在球面上定义和构造简化体？
• 如何在球面上近似具有恒定宽度的凸体和简化体？
• 如何在球面上测量和比较凸体之间的距离？
• 如何在球面上构造具有特定几何属性的凸体？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 球面几何中的凸体近似问题：
   • 研究球面上的凸体，特别是具有恒定宽度的凸体，以及它们的近似问题。
   • 探讨了在球面几何中，如何通过具有特定属性的凸体来逼近给定的凸体。
2. Blaschke定理的球面版本：
   • Blaschke定理指出，在欧几里得平面中，任何具有恒定宽度的凸体都可以被一系列边界仅由半径等于该宽度的圆弧组成的凸体逼近。
   • 本文提出了Blaschke定理在球面几何中的一个版本，即任何球面上的具有恒定宽度的凸体都可以被具有相同宽度的凸体逼近，这些凸体的边界仅由圆弧组成。
3. 球面几何中凸体的宽度和简化体的概念：
   • 讨论了球面凸体的宽度定义及其性质，以及如何确定一个凸体是否具有恒定宽度。
   • 引入了球面简化体的概念，并探讨了其基本性质。
4. 球面几何中的Hausdorff距离：
   • 在球面几何中，使用Hausdorff距离来量化两个凸体之间的接近程度。
   • 讨论了如何通过控制Hausdorff距离来实现凸体的逼近。
5. 球面几何中凸体的边界结构：
   • 分析了球面凸体的边界结构，特别是那些具有恒定宽度或简化性质的凸体。
   • 探讨了如何通过边界结构来构建逼近凸体。

综上所述，这篇文献的背景强调了在球面几何中对凸体进行逼近的重要性和方法，特别是在具有恒定宽度和简化性质的凸体的背景下。

章节摘要

这篇论文是关于球体几何中恒宽体和简化体的逼近问题的研究，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言：介绍了Blaschke定理在欧几里得平面上的一个版本，该定理表明任何恒宽凸体都可以用仅由半径为该宽度的圆弧组成的凸体来逼近。论文提出了这个定理在球面S2上的一个类似版本。
2. 球面几何的辅助事实：
   • 定义了球面S2上的基本几何概念，如大圆、对跖点、球冠、球面凸集等。
   • 提出了一个引理，如果一个闭集在每个边界点都被半球支撑，则该集合是凸的。
   • 讨论了球面凸体的极点、月牙形和厚度的概念。
3. 球面上的简化体：
   • 定义了球面简化体的概念，即对于任何子集Z，如果Z是凸体且∆(Z) < ∆(R)，则称R为简化体。
   • 讨论了简化体的基本性质，并引用了相关文献中对简化体边界结构的描述。
   • 提出了一个定理，对于任何厚度小于π/2的简化体R，存在一个简化体Rε，其边界仅由蝴蝶形的臂和半径为∆(R)的圆弧组成，使得Rε和R之间的Hausdorff距离最多为ε。
4. 简化体的逼近：
   • 详细描述了构造Rε的过程，包括如何用圆弧替换R的边界上的曲线对。
   • 证明了Rε是一个凸体，并且具有与R相同的厚度。
   • 证明了Rε是一个简化体，并且与R的Hausdorff距离最多为ε。
   • 提出了一个推论，对于任何恒宽体W，存在一个具有相同厚度的恒宽体Wε，其边界仅由半径为∆(W)的圆弧组成，使得W和Wε之间的Hausdorff距离最多为ε。
5. 参考文献：列出了用于撰写论文的相关文献。

研究方法

这篇论文通过综合分析球面几何、凸体理论和Hausdorff距离，探讨了球面上的常宽体和约简体的近似问题。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 球面几何基础：
   • 定义了球面几何中的关键概念，如大圆、对跖点、球面距离和球面凸集。
   • 引入了球面凸体的支撑概念，包括支撑半球和支撑月牙形。
   • 讨论了球面凸体的宽度定义及其与支撑半球的关系。
2. 凸体理论应用：
   • 利用凸体理论分析了球面上的常宽体和约简体的性质。
   • 引入了球面上的常宽体和约简体的边界结构。
   • 证明了球面上的凸体可以被一系列更简单的几何形状（如月牙形和弧线）所逼近。
3. Hausdorff距离计算：
   • 使用Hausdorff距离来量化两个凸体之间的接近程度。
   • 通过构造一系列逼近凸体来证明给定的凸体可以被具有相同宽度的简单凸体逼近。
   • 证明了逼近凸体的边界由月牙形的臂和半径为常数的圆弧组成。
4. 构造逼近凸体的算法：
   • 提出了一种算法，通过逐步替换凸体边界上的弧线来构造逼近凸体。
   • 证明了该算法能够生成一系列凸体，这些凸体的Hausdorff距离可以任意接近原始凸体。
   • 讨论了算法的收敛性和逼近凸体的几何特性。
5. 理论证明和几何构造：
   • 通过几何构造和理论证明，展示了如何将球面上的凸体逼近为具有相同宽度的简单凸体。
   • 证明了逼近凸体的边界结构和原始凸体的边界结构之间的关系。
   • 讨论了逼近凸体的宽度和原始凸体的宽度之间的关系。

这篇论文的方法论分析结果表明，球面上的常宽体和约简体可以通过一系列几何构造和逼近算法被有效逼近，这对于理解和计算球面上的几何形状提供了重要的理论基础。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 球面体的近似定理：证明了对于任意厚度小于π/2的球面凸体，存在一个具有相同厚度的凸体，其边界仅由半径等于该厚度的圆弧组成，并且这两个凸体之间的Hausdorff距离可以任意小。
2. 球面体的简化版本：提出了球面体的简化版本定理，即对于任意厚度小于π/2的球面简化凸体，存在一个具有相同厚度的简化凸体，其边界仅由半径等于该厚度的圆弧组成，并且这两个凸体之间的Hausdorff距离可以任意小。
3. 球面几何中的辅助事实：介绍了球面几何中一些重要的辅助事实和引理，这些事实和引理对于理解和证明球面体的近似定理至关重要。
4. 球面简化凸体的定义和性质：详细讨论了球面简化凸体的定义、性质以及它们与常宽度凸体之间的关系。
5. 球面凸体的边界结构：描述了球面简化凸体的边界结构，包括由蝴蝶形区域和常宽度曲线对组成的边界。
6. Hausdorff距离的估计：展示了如何估计原始凸体和近似凸体之间的Hausdorff距离，并证明了这种距离可以被控制在任意小的范围内。

这些结论为球面凸体的近似和简化提供了理论基础，并且指出了在球面几何中处理凸体时需要考虑的一些关键因素。

术语表

这篇文章的术语表如下：

• 球面（Spherical Body）：指在三维欧几里得空间中的单位球面。
• 常宽体（Body of Constant Width）：在球面上，对于任意支撑半圆的月牙形区域具有相同厚度的凸体。
• 约化体（Reduced Body）：在球面上，对于任意包含在其内部的凸体，其厚度小于约化体厚度的凸体。
• 豪斯多夫距离（Hausdorff Distance）：度量两个点集之间距离的一种方式，定义为两个集合中点对距离的上确界。
• 凸体（Convex Body）：指一个闭合的凸集，其内部不为空。
• 球面凸体（Spherical Convex Body）：在球面上的凸体。
• 支撑半圆（Supporting Hemisphere）：如果凸体与半圆的边界相交，则称该半圆支撑该凸体。
• 月牙形（Lune）：由两个不同中心且中心不是对跖点的半圆相交形成的区域。
• 厚度（Thickness）：指月牙形的两个边界半圆中心之间的距离。
• 极点（Antipodes）：球面上任意一对点，它们是球面上一维子空间的交点。
• 大圆（Great Circle）：球面与三维欧几里得空间的二维子空间的交线。
• 球面距离（Spherical Distance）：球面上两点之间的最短路径长度。
• 半圆（Semisphere）：半径为π/2的圆盘称为半圆。
• 球面圆（Spherical Circle）：以球面上某点为中心，距离等于或小于某个半径r的点集。
• 球面三角形（Spherical Triangle）：球面上由三条大圆弧所围成的三角形。
• 球面凸集（Spherical Convex Set）：球面上不包含任何对跖点对，并且包含连接任意两点的弧的集合。
• 球面极值点（Extreme Point of Spherical Convex Body）：如果从凸体C中移除点e后，剩余的集合仍然是凸的，则称e为C的极值点。
• 球面凸包（Convex Hull on Sphere）：包含半球内部某集合A的最小凸集。
• 球面半圆（Semicircle）：以球面上某点为中心，距离等于π/2的点集。
• 球面圆盘（Spherical Disk）：以球面上某点为中心，距离小于或等于某个半径r的点集。

参考文献

这篇文章的主要参考文献如下：

• Blaschke, W. (1915). Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts, Math. Ann, 76, 504–513.
  • 提供了关于常宽体和最小内容的凸区域的定理，为本文提供了理论基础。

• Bonnesen, T., & Fenchel, W. (1934). Theorie der konvexen Körper (Engl. transl. Theory of Convex Bodies, BCS Associated, Moscow, Idaho USA, 1987).
  • 作为凸体理论的经典著作，为本文提供了关于凸体的一般理论支持。

• Eggleston, H. G. (1958). Convexity, Cambridge University Press.
  • 提供了凸集和凸包的基本概念和性质，对本文的几何分析有重要影响。

• Fabińska, E., & Lassak, M. (2007). Reduced bodies in normed spaces, Isr. J. Math. 161, 75–88.
  • 讨论了范数空间中的简化体，为本文在球面上的简化体提供了类比和参考。

• Lassak, M. (2012). Approximation of bodies of constant width and reduced bodies in a normed plane, J. Convex Anal. 19, 865–874.
  • 探讨了范数平面中常宽体和简化体的逼近问题，为本文提供了逼近理论的参考。