WikiEdge:ArXiv-2109.06962

• 标题：A doubly monotone flow for constant width bodies in $\mathbb{R}^3$
• 中文标题：$\mathbb{R}^3$中常宽体的双单调流
• 发布日期：2021-09-14 20:46:37+00:00
• 作者：Ryan Hynd
• 分类：math.FA
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2109.06962v1

摘要：我们在三维欧几里得空间的常宽体空间中引入了一种流动，随着时间的增加，它同时增加了体积并减小了形状的外接半径。从任何初始的常宽图形开始，我们证明了流动对所有正时间存在，并且随着时间趋于正无穷大，它收敛于一个闭球。我们也预期这种流动对于负时间的研究会很有趣，并且它将提供一种机制来减小常宽体的体积并增加其外接半径。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何在三维欧几里得空间中定义一个流，使其同时增加体积并减少形状的外接圆半径？
• 从任何初始的等宽体开始，流是否对所有正时间存在，并且随着时间趋向无穷大会收敛到闭球？
• 流在负时间是否有趣，它是否能提供一种机制来减少等宽体的体积并增加其外接圆半径？
• 等宽体中体积最小与具有最大外接圆半径的体之间是否存在某种联系？
• 如何发展一种方法来探索等宽体的体积最小化问题？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体的几何特性：
   • 常宽体是欧几里得空间中的一类凸集，其在每个方向上平行支撑平面之间的距离相同。这类几何体在数学和物理中具有重要的应用。
   • 常宽体的例子包括半径为1/2的闭球，它是所有常宽体中包围体积最大的形状。
   • 在平面上，Lebesgue和Blaschke证明了Reuleaux三角形具有最小的面积，这表明了对体积最小化的常宽体的研究具有悠久的历史。
2. 三维空间中常宽体的体积最小化问题：
   • 对于三维空间中的常宽体，虽然已知存在体积最小化的常宽体，但关于这些形状的具体信息却知之甚少。
   • Meissner和Schilling基于正四面体构造了一些常宽体，这些体被认为是体积最小化的候选者。
3. 常宽体的内外球半径关系：
   • 常宽体的一个显著特征是其内球和外球的半径之和为1，这为研究常宽体提供了新的视角。
   • 探讨具有最大外半径的常宽体与体积最小化常宽体之间是否存在联系，是本研究的一个动机。
4. 双单调流的引入：
   • 作者提出了一种在三维空间中常宽体的流，这种流在时间正向移动时，体积增加而外半径减小。
   • 这种流的存在性和行为对于理解常宽体的几何特性和解决上述问题具有重要意义。

章节摘要

这篇论文是关于三维空间中恒宽体的双向单调流的研究，主要内容包括：

1. 引言：
   • 定义了恒宽体为欧几里得空间中的紧凑凸子集，且在每个方向上平行支撑平面之间的距离相同。
   • 讨论了宽度为一的恒宽体，如半径为1/2的闭球。
   • 提出了一个关于体积最小化恒宽体的问题，以及它们与具有最大外接半径的恒宽体之间可能的联系。
   • 引入了支持函数的概念，并讨论了其与恒宽体的关系。
2. 支持函数：
   • 讨论了凸体的支持函数及其性质。
   • 推导出了外接半径和体积的公式。
   • 证明了恒宽体的内球和外接球是同心的，并且它们的半径之和为1。
3. 函数和测度的空间：
   • 研究了分析双向非线性演化所需的各种空间。
   • 证明了空间C的凸性和紧性。
   • 引入了E*变分的概念，并讨论了其在路径上的应用。
4. 存在性定理：
   • 建立了在给定初始条件下，存在满足方程(1.4)的解ξ。
   • 讨论了弱解的概念，并证明了弱解的存在性。
   • 通过设计近似序列和提取子序列来证明解的存在性。
5. 附录：
   • 提供了关于P⊥中元素平滑化、单调函数和次连续函数的讨论。
   • 包含了一些技术细节和辅助结果，这些结果对理解论文主体内容至关重要。

研究方法

这篇论文通过分析和构建在三维欧几里得空间中具有恒宽性质的几何体的流，探讨了体积和外接圆半径的变化。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 问题引入与定义：
   • 引入了三维空间中具有恒宽性质的几何体的概念，并定义了相关的数学属性，如宽度、体积和外接圆半径。
   • 提出了研究的核心问题：是否存在一种流，能够同时增加体积并减少外接圆半径。
2. 理论构建：
   • 利用支持函数和凸体的性质，建立了描述恒宽几何体的数学模型。
   • 引入了凸体的Minkowski加法和Hausdorff距离的概念，为后续的分析奠定了基础。
3. 流的构建与分析：
   • 提出了一个在恒宽几何体空间上的流，并分析了其对体积和外接圆半径的影响。
   • 通过数学推导，证明了随着时间的推移，体积增加而外接圆半径减少。
4. 存在性与收敛性证明：
   • 证明了所提出的流在所有正时间上存在，并随着时间趋向无穷大会收敛到一个闭球。
   • 利用了凸对偶、下半连续函数和选择定理等数学工具来完成证明。
5. 数值研究与猜想：
   • 通过数值研究支持了Meissner四面体可能是三维空间中体积最小化的恒宽几何体的猜想。
   • 探讨了流在负时间的方向上的性质，以及其对理解体积最小化和外接圆半径最大化之间关系的潜在价值。
6. 方法论的扩展与应用：
   • 提出了将这种方法应用于其他维度空间的可能性，并讨论了其在不同数学领域中的潜在应用。
   • 探讨了这种方法在理解几何体的物理特性和工程应用中的潜在价值。

这篇论文的方法论分析结果表明，通过构建和分析特定的数学流，可以揭示恒宽几何体的某些基本性质，为解决复杂的几何问题提供了新的视角和工具。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 常宽体的双单调流：提出了一个在三维欧几里得空间中常宽体的流，该流随着时间的推移，同时增加体积并减少形状的外接圆半径。
   1. 存在性和收敛性：证明了从任何初始常宽体开始，流对所有正时间存在，并且当时间趋于正无穷时，流会收敛到半径为1/2的闭球。
   2. 时间反演的猜想：推测该流对负时间也很有趣，可能会提供一个机制来减少常宽体的体积并增加其外接圆半径。
2. 体积和外接圆半径的关系：探讨了体积最小化的常宽体与具有最大外接圆半径的常宽体之间可能存在的联系。
   1. 支持函数的应用：使用支持函数来表达常宽体的外接圆半径和体积，并展示了这些量如何随着流的变化而变化。
   2. 凸体的几何特性：详细研究了凸体的几何特性，包括其支持函数、凸包和体积等。
3. 流的数学性质：研究了流的数学性质，包括其单调性和变分公式。
   1. 正则性和极限行为：探讨了随时间变化的凸体的正则性和极限行为，以及它们如何收敛到最优形状。
4. 数值研究的支持：引用了支持该猜想的数值研究，为进一步的理论研究提供了实证基础。

这些结论为理解三维空间中常宽体的几何特性和演化提供了新的视角，并为进一步探索其数学和物理性质奠定了基础。