WikiEdge:ArXiv-2211.06151

• 标题：On mean curvature integrals of the outer parallel convex body of constant width
• 中文标题：关于常宽度外部平行凸体的平均曲率积分
• 发布日期：2022-11-11 12:07:26+00:00
• 作者：Zezhen Sun
• 分类：math.MG, 52A20, 53C65
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2211.06151v1

摘要：在本文中，我们得到了一些关于常宽度外部平行凸体的平均曲率积分的结果。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何计算常宽体外平行凸体的平均曲率积分？
• 如何将常宽体的外平行凸体的平均曲率积分与投影体的平均曲率积分联系起来？
• 如何在Grassmann流形上计算外平行凸体的平均曲率积分的积分？
• 如何将这些结果应用于凸体理论和积分几何？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 积分几何中的平均曲率积分：
   • 平均曲率积分是积分几何中的一个基本概念，它连接了许多几何不变量，如面积、球面高斯映射的度数、欧拉-泊松特征数、高斯-克罗内克曲率等。
   • 平均曲率积分与凸体的闵可夫斯基问题积分密切相关，在凸体理论中起着重要作用。
2. 常宽凸体的外平行凸体的平均曲率积分：
   • 常宽凸体是指在任意两个平行支撑超平面之间始终保持恒定距离的凸体。
   • 研究外平行凸体的平均曲率积分有助于更深入地理解常宽凸体的几何特性。
3. 前人工作与本研究的关系：
   • Santalò 研究了在 \( \mathbb{R}^n \) 中的凸体 \( K \) 的平均曲率积分 \( M(n)_l \) 并建立了其与 \( M(r)_i \) 的关系。
   • 后续研究者如 Zhou-Jiang、Jiang-Zeng 和 Zeng-Ma-Xia 进一步研究了外平行凸体的平均曲率积分，扩展了 Santalò 的结果。
   • 本文在前人研究的基础上，进一步探讨了常宽凸体外平行凸体的平均曲率积分。

章节摘要

这篇论文是关于常宽体外平行凸体的平均曲率积分的研究，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言
   • 平均曲率积分是积分几何的一个基本概念，它连接了许多几何不变量，如面积、球面高斯映射的度数、欧拉-泊松特征数、高斯-克罗内克曲率等。它与凸体的闵可夫斯基疑问积分密切相关，在凸体理论中起着重要作用。
2. 预备知识
   • 定义了凸体、凸超曲面、投影体等基本概念，并介绍了闵可夫斯基疑问积分的定义和性质。
   • 介绍了外平行凸体的概念，以及Steiner公式和其对投影体体积的影响。
3. 主要定理的证明
   • 定理1.1：证明了在不同条件下，外平行凸体的平均曲率积分可以通过原凸体的平均曲率积分和一些几何参数来表示。
   • 定理1.2：计算了在Grassmann流形上的平均曲率积分的积分，并展示了其与原凸体平均曲率积分的关系。
4. 致谢
   • 作者感谢上海市科学技术委员会和国家自然科学基金的部分支持，并声明了研究资助和数据可用性。
5. 参考文献
   • 列出了相关研究的参考文献，包括Santaló、Zhou-Jiang、Jiang-Zeng、Zeng-Ma-Xia等。

研究方法

这篇论文通过数学分析和几何计算，研究了常宽体外平行凸体的平均曲率积分。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 数学分析：
   • 利用积分几何的基本概念，如平均曲率积分，连接几何不变量，例如面积、球面高斯映射的度数、欧拉-泊松特征数、高斯-克罗内克曲率等。
   • 应用了凸体的Minkowski quermassintegral理论，这是凸体理论中的重要工具。
2. 几何计算：
   • 研究了在n维欧几里得空间中，通过固定点O的r维线性子空间Lr[O]的外平行凸体Kρ的平均曲率积分M(n) l。
   • 计算了凸体Φ'r在r维线性子空间Lr[O]上的正交投影(Φ'r)(n) ρ的边界的平均曲率积分。
   • 利用了凸体Φ'r在Lr[O]中的平均曲率积分M(r) l与凸体Φ'r在Rn中的平均曲率积分M(n) l之间的关系。
3. 凸体理论：
   • 引入了凸体Φ的C2边界∂Φ，并考虑了所有(n-r)维平面Ln−r[O]通过O的正交投影K'n−r。
   • 应用了凸体外平行体Kρ的Steiner公式，以及凸体的投影体积与Minkowski quermassintegral之间的关系。
   • 利用了凸体的高斯映射和主曲率，计算了平均曲率和高斯-克罗内克曲率。
4. 积分计算：
   • 计算了Gr,n−r上的积分，这是关于凸体投影体积的积分，以及与凸体的边界平均曲率积分相关的积分。
   • 利用了Grassmann流形上的积分结果，得到了关于凸体Φ'r的边界平均曲率积分的表达式。
5. 定理证明：
   • 证明了主要定理1.1和1.2，这些定理提供了常宽体外平行凸体的平均曲率积分的表达式。
   • 通过详细的数学推导，展示了不同情况下平均曲率积分的计算方法。

这篇论文的方法论分析结果表明，作者成功地利用了积分几何和凸体理论的工具，推导出了常宽体外平行凸体的平均曲率积分的精确表达式，为理解这类几何体的几何特性提供了新的视角。

术语表

这篇文章的术语表如下：

• 平均曲率积分（Mean curvature integrals）：在积分几何中，平均曲率积分是一个基本概念，它连接了许多几何不变量，如面积、球面高斯映射的度数、欧拉-泊松特征数、高斯-克罗内克曲率等。
• 外平行凸体（Outer parallel convex body）：在距离ρ处的凸体K的外平行凸体是指所有以K的点为中心，半径为ρ的实心球体的并集。
• 常宽凸体（Convex body of constant width）：在Rn中，任意两个平行支撑超平面总是相隔一个常数h的凸体。
• 正交投影（Orthogonal projection）：将凸体Φ投影到r维线性子空间Lr[O]上，记作Φ'r。
• Minkowski 疑问积分（Minkowski quermassintegral）：描述凸体投影体积的平均值，是凸体理论中的一个强有力的工具。
• 高斯映射（Gauss map）：一种将凸体表面点映射到其法向量的映射。
• 高斯-克罗内克曲率（Gauss-Kronecker curvature）：由主曲率的乘积定义的曲率，是高斯映射的雅可比矩阵的行列式。
• 主曲率（Principal curvatures）：在凸体边界上的某一点处，与主曲率方向相对应的曲率。
• 支撑超平面（Support hyperplane）：与凸体相切的超平面。
• 欧拉-泊松特征数（Euler-Poincaré characteristic）：描述拓扑空间的简单特征数。
• 球面高斯映射的度数（Degree of the spherical Gauss map）：球面高斯映射的代数性质。
• Grassmann 流形（Grassmann manifold）：由所有r维线性子空间组成的流形。
• 外平行超曲面（Parallel hypersurface）：在距离ρ处的凸体K的外平行超曲面是指所有以K的边界点为中心，半径为ρ的球面的并集。
• 积分几何（Integral Geometry）：研究几何形状的度量属性，特别是通过积分方法。
• 凸超曲面（Convex hypersurface）：具有凸性的高维超曲面。
• C2 边界（C2 boundary）：具有连续二阶导数的光滑边界。
• 支撑平面（Support plane）：与凸体相切的平面。
• 凸体（Convex body）：在欧几里得空间中，包含连接其内任意两点的线段的几何体。
• 凸集（Convex set）：在欧几里得空间中，包含连接其内任意两点的线段的集合。
• 凸包（Convex hull）：一组点的最小凸集，包含这些点及其所有凸组合。

参考文献

这篇文章的主要参考文献如下：

• Santal´o, L. A. (1956). On the mean curvatures of flattened convex bodies. Rev. Fac. Sci. Univ. Istanbul, 21, 189-194.
  • 为本文提供了关于凸体平均曲率积分的基础理论。
• Zhou, J., & Jiang, D. (2008). On mean curvatures of a parallel convex body. Acta. Math. Sci., 28, 489-494.
  • 扩展了Santaló的工作，研究了外平行凸体的平均曲率积分。
• Jiang, D., & Zeng, C. (2012). On mean values of mean curvature integrals of a flattened parallel body. J. Math., 32, 431-438.
  • 进一步探讨了平均曲率积分的均值问题。
• Zeng, C., Ma, L., & Xia, Y. (2014). On mean curvature integrals of the outer parallel body of projection of a convex body. J. Inequal. Appl., 2014, 415.
  • 研究了凸体投影的外平行体的平均曲率积分，为本文提供了相关理论支持。
• Santal´o, L. A. (1976). Integral Geometry and Geometric Probability. Addison-Wesley, London.
  • 提供了积分几何和几何概率的基础知识，为本文的研究提供了理论基础。