WikiEdge:ArXiv-1607.02180

• 标题：Minimal cover of high-dimensional chaotic attractors by embedded recurrent patterns
• 中文标题：高维混沌吸引子的最小覆盖嵌入的不稳定重复模式
• 发布日期：2016-07-07 22:00:56+00:00
• 作者：Daniel L. Crane, Ruslan L. Davidchack, Alexander N. Gorban
• 分类：nlin.CD
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1607.02180v3

摘要：我们提出了一种通用方法，用嵌入的不稳定重复模式来构造高维混沌吸引子的最小覆盖。所谓的最小覆盖是指可用模式的子集，使得预定义接近阈值的混沌动力学的最小覆盖近似与全套可用集合的近似一样好。基于有向Hausdorff距离概念的接近度测量，可以自由选择并适应给定混沌系统的属性。在周期域上的Kuramoto-Sivashinsky系统的时空混沌吸引子的背景下，我们证明即使接近度测量在维数远小于包含吸引子的空间的子空间内定义，也可以忠实地构造最小覆盖。我们讨论了如何使用最小覆盖来提供吸引子结构和其上动力学的简化描述。

问题与动机

作者面对的研究问题包括：

• 如何构建一个高维混沌吸引子的最小覆盖？
• 如何使用嵌入的不稳定周期轨道或其他不变结构来描述高维混沌动力学？
• 如何在低维投影中可靠地构建混沌吸引子的最小覆盖？
• 如何通过最小覆盖集来近似混沌轨迹？
• 如何基于最小覆盖集中的模式构建马尔可夫型模型？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 高维混沌吸引子的最小覆盖
   • 混沌吸引子的不稳定周期轨道是其结构的基础，较短的轨道提供了整体结构，而较长的轨道则在更小的邻域内细化了这个骨架。
   • 这种属性最早由庞加莱猜想提出，即任何动力系统的运动都可以通过周期型的运动来近似。
   • 对于低维系统，这种方法取得了相当的成功，并发展出了周期轨道理论。
   • 然而，当吸引子的维度很大时（具有几个正的李雅普诺夫指数），即使是定性描述吸引子的结构也变得具有挑战性。
2. 高维混沌系统的周期轨道定位
   • 最近几年，在高维混沌系统中定位周期轨道和其他类型的复发模式方面取得了显著进展。
   • 例如，Lopez等人提出了一种寻找具有连续对称性的微分方程的相对周期解的方法，并用此方法找到了复杂Ginzburg-Landau方程的相对周期解。
   • Hof等人在湍流管流中发现了行波的实验证据，与Faisst和Eckhardt的数值研究一致。
   • Zoldi和Greenside使用阻尼-牛顿方法在Kuramoto-Sivashinsky (KS) 方程中找到了不稳定的周期轨道。
   • Cvitanovic等人使用多重射击和Levenberg-Marquardt算法在周期域的KS方程中定位了超过60,000个不稳定的复发模式。
3. 混沌吸引子结构的描述
   • 越来越多的研究试图用嵌入的不稳定周期轨道或其他不变结构来描述高维混沌动力学。
   • 对于弱湍流流动，例如Kawahara等人的工作，Chandler和Kerswell的工作，Budanur等人的工作，Graham和Floryan的工作。
   • 更抽象的模型，如Maiocchi等人对Lorenz’96模型的研究。
   • 一般来说，了解复发结构可以用于开发模型简化和粗粒化方法来表示复杂的高维动力系统，例如通过马尔可夫链、符号动力学、主曼ifold、多尺度建模等。
4. 大量复发模式的信息利用
   • 鉴于在给定的混沌系统中检测到了大量的复发模式，很明显数据中存在大量的冗余：在相空间中彼此“接近”的复发模式包含了关于吸引子在其邻域内结构和动力学的相似信息。
   • 这引出了如何选择一个代表性的小的复发模式子集，这些模式子集提供了与完整可用集合相同的关于吸引子的信息。

综上所述，这篇文献的背景强调了在高维混沌系统中，如何利用周期轨道和其他复发模式的信息来描述吸引子的结构和动力学。

章节摘要

这篇论文提出了一种构建高维混沌吸引子的最小覆盖的方法，通过嵌入的不稳定的周期性模式。主要内容包括：

1. 引言：
   • 描述了不稳定周期轨道是混沌吸引子的骨架，短周期轨道给出整体结构，长周期轨道在更小的邻域内细化这个骨架。
   • 引用了Poincaré的猜想，即任何动态系统的运动都可以通过周期型的运动来近似。
   • 讨论了在高维系统中寻找周期轨道和其他类型的循环模式的进展。
2. 最小覆盖构造算法：
   • 定义了最小覆盖为可用模式的一个子集，使得用最小覆盖来近似混沌动力学与用全部可用集合近似一样好。
   • 提出了一种算法来构建最小覆盖，该算法基于预定义的接近度阈值。
   • 讨论了如何定义循环模式之间的“接近度”或“邻近性”。
3. Kuramoto-Sivashinsky方程：
   • 展示了如何将提出的方法应用于Kuramoto-Sivashinsky方程的时空混沌吸引子。
   • 描述了KS方程及其在研究时空混沌动态系统中的应用。
   • 讨论了如何使用傅里叶模式的幅度作为对称不变的坐标来构建最小覆盖。
4. 最小覆盖的KS吸引子：
   • 描述了如何使用KS方程的傅里叶模式幅度来构建最小覆盖。
   • 展示了即使在定义接近度度量的子空间的维度远小于包含吸引子的空间的维度时，也可以忠实地构建最小覆盖。
   • 讨论了如何使用最小覆盖来提供吸引子结构和其上动力学的简化描述。
5. 混沌吸引子的阴影化：
   • 讨论了如何将混沌轨迹表示为由最小覆盖中的循环模式阴影化的轨迹序列。
   • 描述了“贪婪”表示法，即从所有在2ε4范围内的循环模式中，选择与混沌轨迹段最长时间保持在2ε4内的模式。
6. 马尔可夫模型近似：
   • 讨论了如何使用最小覆盖来近似动态为马尔可夫过程。
   • 描述了构建转移概率矩阵的方法，并分析了模型的属性，包括无记忆属性和稳态分布。
7. 冗余：
   • 讨论了在构建最小覆盖时可能出现的冗余，并提出了一种方法来消除这些冗余。
8. 总结：
   • 总结了构建高维混沌吸引子的最小覆盖的一般方法。
   • 讨论了最小覆盖在降低构建复杂性和计算成本方面的潜力。
   • 提出了最小覆盖不仅可以基于循环模式，还可以基于混沌吸引子的任何方便的轨迹段集。

研究方法

这篇论文提出了一种通用方法，用于通过嵌入的不稳定周期性模式来构建高维混沌吸引子的最小覆盖。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 构建最小覆盖的算法：
   • 定义了“最小覆盖”的概念，即选择一组可用模式的子集，使得用最小覆盖对混沌动力学的近似与使用完整可用集合的近似同样好。
   • 提出了一种基于有向Hausdorff距离的邻近度度量方法，可以根据给定混沌系统的特性进行选择和调整。
   • 展示了即使在比包含吸引子的空间维度小得多的子空间内定义邻近度度量时，也能忠实地构建Kuramoto-Sivashinsky系统的最小覆盖。
   • 讨论了如何使用最小覆盖来提供吸引子结构和其上动力学的简化描述。
2. 有向Hausdorff距离：
   • 引入了有向Hausdorff距离来衡量动态系统轨迹段之间的距离，而不是单独点之间的距离。
   • 通过有向Hausdorff距离，可以确定模式彼此之间的邻近性以及与吸引子上点的邻近性。
   • 展示了在构建最小覆盖时，如何使用这个距离来确定是否将一个新的周期性模式包含进集合中。
3. 降维投影中的距离：
   • 讨论了在低维投影中使用有向Hausdorff距离来区分接近和远离的轨迹段。
   • 通过使用吸引子的前n个主成分，可以在低维投影中可靠地区分轨迹段。
   • 展示了如何使用低维投影来构建可靠的最小覆盖，从而大大减少了构建过程的复杂性和计算成本。
4. Kuramoto-Sivashinsky方程：
   • 以Kuramoto-Sivashinsky方程为例，展示了如何找到并使用周期性模式。
   • 利用傅里叶级数展开和截断来求解方程，得到一个高维动态系统的近似解。
   • 通过最小覆盖算法，从大量检测到的周期性模式中选择了最小覆盖集。
5. 混沌吸引子的追踪：
   • 利用构建的最小覆盖集W4，开始将Poincaré猜想付诸实践，将混沌轨迹表示为由W4中的周期性模式阴影序列。
   • 展示了如何将混沌轨迹细分为由W4中的模式阴影的有限时间段。
6. 马尔可夫模型近似：
   • 引入了马尔可夫模型来近似复杂动态系统，特别是连续时间马尔可夫链（CTMC）。
   • 通过长时间轨道的追踪和分段，构建了CTMC模型的转移概率矩阵。
   • 分析了模型的无记忆性质，以及等待时间的指数分布。
   • 通过去除最小覆盖中的冗余模式，进一步精炼了模型。
   • 展示了如何通过去除冗余模式来减少最小覆盖集的大小，同时保持对吸引子的覆盖。

这篇论文的方法论分析结果表明，通过使用最小覆盖和有向Hausdorff距离，可以有效地简化高维混沌吸引子的描述，并且可以构建出能够近似混沌动力学的马尔可夫模型。