WikiEdge:ArXiv-2405.18501

• 标题：Small volume bodies of constant width
• 中文标题：常宽度小体积物体
• 发布日期：2024-05-28 18:14:00+00:00
• 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, Andriy Prymak, Danylo Radchenko
• 分类：math.MG, 52A20, 52A40, 28A75, 49Q20
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2405.18501v1

摘要：对于每一个足够大的$n$，我们明确构造了一个常宽为$2$的体，其体积小于$0.9^n \text{Vol}(\mathbb{B}^{n}$)，其中$\mathbb{B}^{n}$是$\mathbb{R}^{n}$中的单位球。这回答了O.~Schramm的一个问题。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何构造一个在 \( n \) 维欧几里得空间 \( \mathbb{R}^n \) 中宽度恒定为 2 的凸体，其体积小于 \( 0.9n \) 倍的单位球体积？
• 能否证明存在一个正数 \( \epsilon > 0 \) 使得对于所有 \( n \geq 2 \)，常宽凸体的有效率 \( r_n \) 都小于 \( 1 - \epsilon \)？
• 能否通过显式构造一个凸体 \( M \) 来证明 \( r_n < 0.9 \) 对于足够大的 \( n \) 成立？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体的研究：
   • 常宽体是一类特殊的凸体，其在任何方向上的投影长度都相等。这类几何体在数学和工程学中有着广泛的应用。
   • 常宽体的体积和有效半径之间的关系是研究的重点之一，其中有效半径定义为使得凸体的体积等于单位球体积的相应倍数的半径。
2. Urysohn不等式的应用：
   • Urysohn不等式提供了常宽体有效半径的一个上界，这对于理解常宽体的性质至关重要。
   • 文献中提到了Schramm对于常宽体有效半径的下界进行了研究，并提出了一个非平凡的下界。
3. Schramm问题的提出：
   • Schramm提出了一个问题，即是否存在一个正数ε，使得所有维度n的常宽体2的有效半径都小于1-ε。
   • 这个问题对于理解常宽体在高维空间中的性质具有重要意义。
4. 本文的贡献：
   • 本文通过构造一个具体的常宽体2，并证明其体积小于0.9n倍的单位球体积，从而回答了Schramm的问题。
   • 这一结果不仅解决了一个长期存在的问题，也为常宽体的体积和有效半径之间的关系提供了新的见解。

综上所述，这篇文献的背景强调了常宽体在数学几何中的重要性，以及对于其体积和有效半径之间关系的深入研究。