WikiEdge:ArXiv-2406.18428

• 标题：Small volume bodies of constant width with tetrahedral symmetries
• 中文标题：具有四面体对称性的小体积常宽体
• 发布日期：2024-06-26 15:21:58+00:00
• 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak, Danylo Radchenko
• 分类：math.MG, Primary 52A20, Secondary 52A15, 52A23, 52A40, 28A75, 49Q20
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2406.18428v1

摘要：对于所有的 $n\ge 2$，我们构造了一个在 $\mathbb{E}^n$ 中宽度为 $2$ 的体积小且具有规则 $n$-单形对称性的体 $U_n$。$U_2$ 是 Reuleaux 三角形。据我们所知，$U_3$ 之前没有被构造过，其体积小于其他具有四面体对称性的三维等宽体的体积。虽然 $U_3$ 的体积略大于宽度为 $2$ 的 Meissner 体的体积，但它超过后者的体积不到 $0.137\%$。对于所有大的 $n$，$U_n$ 的体积小于半径为 $0.891$ 的球的体积。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何构造具有四面体对称性的常宽体，并且体积尽可能小？
• 在三维空间中，是否存在体积比已知的Meissner体更小的常宽体？
• 对于较大的n值，Un的体积是否小于半径为0.891的球体的体积？
• Un是否是具有规则n-单形对称性的常宽体中体积最小的？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体的研究：
   • 在欧几里得空间中，一个凸体如果其在任何线上的投影长度都相同，则称之为具有常宽。
   • 常宽体的研究涉及了数学的多个领域，包括凸体几何、优化和计算几何。
   • 历史上，布拉斯克和勒贝格证明了在二维空间中，最小的常宽体是勒洛三角形。
2. 三维空间中的最小体积问题：
   • 对于三维空间，梅斯纳体被认为是具有最小体积的常宽体，但这个问题仍然是一个未解决的问题。
   • 文献[17]展示了如何通过修改勒洛三角形的直接推广来构造三维常宽体。
3. 高维空间中的常宽体：
   • 在高维空间中，寻找具有最小体积的常宽体是一个更具挑战性的问题。
   • 作者们在文献[2]中与纳扎罗夫合作，构造了一组新的常宽体，其体积远小于相同宽度的球体。
   • 本文提出了一个新的构造方法，用于生成具有四面体对称性的常宽体，这些体在高维空间中具有潜在的最小体积。
4. 对称性和优化问题：
   • 具有规则对称性的凸体在数学和物理中都有重要的应用。
   • 本文探讨了具有规则n-单形对称性的常宽体，这对于理解高维空间中的几何结构和优化问题具有重要意义。

综上所述，这篇文献的背景强调了在不同维度空间中寻找具有最小体积的常宽体的重要性，以及对称性在这些研究中的作用。