WikiEdge:ArXiv-1404.7019：修订间差异
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*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/1404.7019v1 | *'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/1404.7019v1 | ||
'''摘要'''：众所周知，一个在Baire类别意义上典型的$n$维凸体表现出一种简单但高度非直观的曲率行为：在其边界点的几乎所有位置（在测度意义上），所有曲率都为零，但也存在一个密集且不可数的边界点集，其中所有曲率都是无穷大。本文的目的是为给定常宽的典型凸体找到这种现象的对应物。这样的体不能有零曲率。一个主要结果表明，对于一个典型的$n$维常宽为$1$的凸体（不失一般性），在其边界点的几乎所有位置（在测度意义上），所有曲率都等于$1$。（相比之下，注意到宽度为$1$的球的半径为$1/2$，因此所有的曲率都等于$2$。）由于常宽性质对于Minkowski加法是线性的，证明需要借助于线性曲率概念，这由切向曲率半径提供。 | '''摘要'''：众所周知，一个在Baire类别意义上典型的$n$维凸体表现出一种简单但高度非直观的曲率行为：在其边界点的几乎所有位置（在测度意义上），所有曲率都为零，但也存在一个密集且不可数的边界点集，其中所有曲率都是无穷大。本文的目的是为给定常宽的典型凸体找到这种现象的对应物。这样的体不能有零曲率。一个主要结果表明，对于一个典型的$n$维常宽为$1$的凸体（不失一般性），在其边界点的几乎所有位置（在测度意义上），所有曲率都等于$1$。（相比之下，注意到宽度为$1$的球的半径为$1/2$，因此所有的曲率都等于$2$。）由于常宽性质对于Minkowski加法是线性的，证明需要借助于线性曲率概念，这由切向曲率半径提供。 | ||
== 问题与动机 == | |||
作者的研究问题包括： | |||
* 如何描述具有[[恒定宽度]]的[[典型凸体]]的[[典型曲率]]行为？ | |||
* 如何证明对于具有恒定宽度的典型凸体，几乎所有的[[边界点]]的曲率要么全部为1，要么至少有一个曲率为0？ | |||
* 如何证明在具有恒定宽度的凸体中，存在一个不可数的、[[密集]]的边界点集合，其中所有曲率都为零？ | |||
* 如何将[[二维平面]]中关于常宽凸体的曲率行为扩展到更高[[维度]]？ | |||
2024年9月28日 (六) 10:17的版本
- 标题：Typical curvature behaviour of bodies of constant width
- 中文标题：常宽体的典型曲率行为
- 发布日期：2014-04-28 15:24:02+00:00
- 作者：Imre Barany, rolf Schneider
- 分类：math.MG, 52A20, 53A07
- 原文链接：http://arxiv.org/abs/1404.7019v1
摘要：众所周知，一个在Baire类别意义上典型的$n$维凸体表现出一种简单但高度非直观的曲率行为：在其边界点的几乎所有位置（在测度意义上），所有曲率都为零，但也存在一个密集且不可数的边界点集，其中所有曲率都是无穷大。本文的目的是为给定常宽的典型凸体找到这种现象的对应物。这样的体不能有零曲率。一个主要结果表明，对于一个典型的$n$维常宽为$1$的凸体（不失一般性），在其边界点的几乎所有位置（在测度意义上），所有曲率都等于$1$。（相比之下，注意到宽度为$1$的球的半径为$1/2$，因此所有的曲率都等于$2$。）由于常宽性质对于Minkowski加法是线性的，证明需要借助于线性曲率概念，这由切向曲率半径提供。
问题与动机
作者的研究问题包括：