WikiEdge:ArXiv-1608.06354

• 标题：Meissner Polyhedra
• 中文标题：迈斯纳多面体
• 发布日期：2016-08-23 01:29:42+00:00
• 作者：Luis Montejano, Edgardo Roldán-Pensado
• 分类：math.MG
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1608.06354v2

摘要：在本文中，我们提出了一种具体的方法来构造三维常宽体。它们是由自对偶图的特殊嵌入构造的。

问题与动机

作者的研究问题与动机包括：

• 如何在三维空间中构造具有恒定宽度的立体？
• 已知二维空间中存在多种构造恒定宽度曲线的方法，但高维类比的构造方法尚不明确，作者试图填补这一空白。
• 探索三维空间中是否存在具体的、有限的构造过程来生成具有恒定宽度的立体。
• 研究特殊的自对偶图嵌入如何用于构造三维恒定宽度立体。
• 探讨三维空间中Reuleaux多面体的性质，以及如何通过修改这些多面体的边来构造具有恒定宽度的立体。
• 验证通过修改Reuleaux多面体的边所得到的立体是否确实具有恒定的宽度。
• 研究Meissner立体的性质，以及它们在三维空间中恒定宽度立体中的位置。
• 探索三维恒定宽度立体的几何特性，以及它们在离散几何问题中的应用。
• 研究三维Reuleaux多面体的自对偶图的性质，以及如何通过这些图的嵌入来构造Meissner立体。
• 探索三维恒定宽度立体的体积最小化问题，以及Meissner立体在解决Blaschke-Lebesgue问题中的潜力。

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体和其性质的历史回顾：
   • 常宽体和其性质已经被研究了数个世纪。莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在研究中将它们称作“orbiforms”，并对常宽曲线进行了研究，这些曲线的边界可以表示为一个内摆线的渐开线。
   • 约一百年后，即1875年，弗朗茨·吕洛（Franz Reuleaux）在他的运动学书籍中提到了常宽曲线，并给出了一些例子。他还给出了一种可能是最简单的非圆形常宽曲线的构造方法，这种曲线现在以他的名字命名。
   • 尽管我们知道许多构造常宽曲线的方法，但对于它们的高维类比来说，情况并非如此。
2. 高维常宽体的构造方法：
   • 根据帕尔定理（Pál's theorem），我们知道在\( \mathbb{R}^n \)中直径为1的任何子集都包含在一个常宽体中。
   • Sallee和Lachand与Outdet等人给出了非构造性的方法来找到它们，但除了两个Meissner实体和明显的旋转体常宽体外，在文献中没有具体的常宽体的例子，也没有具体的有限程序来构造一个大于2维的常宽体。
3. 球面多面体的研究：
   • 本文的主要目标是研究有限多个全等球体相交的几何特性。球面多面体是离散几何中几个重要问题的研究对象，例如Grübaum-Heppes-Straszewicz定理关于\( \mathbb{R}^3 \)中有限点集直径的最大数量，Kneser-Poulsen猜想，有限点集的Borsuk猜想的证明，以及三角化球面多面体的Cauchy刚性定理的类比。
   • 球面多面体的边界点可以是奇异的或规则的，奇异点又可以细分为0-奇异点和1-奇异点。
   • 球面多面体的面定义为\( S(x, h) \cap \Phi \)，其中\( x \in X \)。
   • 一个三维球面多面体\( \Phi \)是标准的，如果任意两个面的交集要么是空的，要么是\( G_\Phi \)的一个顶点或一条边。
   • 一个三维球面多面体的图\( G_\Phi \)是简单、平面和3-连通的，并且满足欧拉-泊松公式\( v - e + f = 2 \)。
4. Reuleaux多面体的定义和性质：
   • Reuleaux多面体定义为满足特定性质的凸体，例如存在一个集合\( X \subset \mathbb{R}^n \)使得\( \Phi = \bigcap_{x \in X} B(x, h) \)，\( \Phi \)是一个标准球面多面体，且\( \Phi \)边界的0-奇异点集合\( V(\Phi) \)是\( X \)。
   • 在二维中，Reuleaux多面体正是Reuleaux多边形，而在更高维度中，Reuleaux多面体不是常宽体。
   • 三维Reuleaux多面体将是构造三维常宽体的关键。
   • 一个重要的性质是，对于\( X \)中的每一对点\( x, y \)，距离\( d(x, y) \leq h \)且当且仅当\( x \)在\( y \)的对偶面中时，\( d(x, y) = h \)。

综上所述，这篇文献的背景强调了常宽体的历史研究、高维常宽体的构造方法、球面多面体的几何特性，以及Reuleaux多面体的定义和性质，为进一步研究三维常宽体提供了理论基础和构造方法。

章节摘要

这篇论文是关于三维空间中恒宽体的构造方法的研究，主要内容包括：

1. 引言和预备知识
   1. 介绍了恒宽体的概念，历史上L. Euler和Franz Reuleaux对恒宽体的研究。
   2. 讨论了恒宽体在不同维度的构造方法，以及文献中缺乏具体的构造例子。
   3. 提出了本文的目标：构造三维恒宽体的具体例子。

1. 球面多面体
   1. 研究了有限多个全等球体相交的几何特性。
   2. 定义了球面多面体，并讨论了其边界点的分类。
   3. 提出了标准球面多面体的概念，并证明了其图是简单、平面和3-连通的。

1. Reuleaux多面体
   1. 定义了Reuleaux多面体，并讨论了其性质。
   2. 证明了Reuleaux多面体的图是自对偶图，并讨论了其嵌入性质。

1. Meissner多面体
   1. 描述了通过在Reuleaux多面体的自对偶图的每对对偶边上进行“手术”来构造Meissner多面体的过程。
   2. 提出了Meissner多面体的定义，并证明了通过上述手术得到的表面是恒宽体的边界。

1. 从Reuleaux多边形构造恒宽体
   1. 描述了从二维Reuleaux多边形构造三维恒宽体的具体步骤。
   2. 使用Voronoi图和Delaunay三角剖分来构造Meissner多面体。

1. 致谢
   1. 感谢CONACYT项目166306和PAPIITT-UNAM项目IN112614对本研究的支持。

研究方法

这篇论文通过构造特殊的自对偶图嵌入，开发了一种具体的方法来构造三维的恒宽体。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 自对偶图嵌入：
   • 利用自对偶图的特殊嵌入来构造三维恒宽体。
   • 通过嵌入的自对偶图的顶点和边来定义恒宽体的边界。
   • 引入自对偶图的对偶面的概念，用于构造恒宽体的表面。
2. 球面多面体研究：
   • 研究了有限多个全等球体的交集的几何特性，即球面多面体。
   • 探讨了球面多面体的边界点的分类，包括奇异点和规则点。
   • 描述了球面多面体边界的图嵌入结构，包括顶点、边和面。
3. 三维恒宽体构造：
   • 通过在自对偶图的每对对偶边上执行“手术”来构造三维恒宽体。
   • 证明了通过这种构造方法得到的表面是恒宽体的边界。
   • 利用了Pál定理来证明恒宽体的存在性。
4. Reuleaux多面体定义：
   • 定义了Reuleaux多面体作为满足特定条件的凸体。
   • 描述了Reuleaux多面体的自对偶图属性。
   • 证明了Reuleaux多面体的自对偶图是简单、平面和3-连通的。
5. Meissner多面体构造：
   • 将Meissner多面体定义为通过在Reuleaux多面体的自对偶图的每对对偶边上执行“手术”得到的恒宽体。
   • 描述了Meissner多面体的构造过程，包括替换边界上的弧段。
   • 证明了Meissner多面体的表面是恒宽体的边界。
6. 从Reuleaux多边形构造恒宽体：
   • 利用Reuleaux多边形的Voronoi图和Delaunay三角剖分来构造三维恒宽体。
   • 描述了从Reuleaux多边形到三维恒宽体的构造过程，包括确定恒宽体的底部。
   • 证明了通过这种构造方法得到的三维体是Meissner多面体。

这篇论文的方法论分析结果表明，通过自对偶图的特殊嵌入和对Reuleaux多面体进行“手术”，可以构造出三维的恒宽体，这为理解和设计具有特定几何特性的三维结构提供了一种新的方法。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 三维常宽体的构造方法：论文提出了一种具体的方法来构造三维常宽体，这些常宽体是通过特殊嵌入的自对偶图来构造的。
2. 球多面体的几何特性：研究了有限多个全等球的交集的几何特性，这些球多面体是离散几何中的重要对象。
3. 三维球多面体的标准定义：证明了三维球多面体的标准定义下的图是简单、平面和3-连通的。
4. 欧拉-泊松公式的应用：对于任何三维球多面体，使用欧拉-泊松公式计算其顶点、边和面的关系。
5. Reuleaux多面体的定义和性质：定义了Reuleaux多面体，并讨论了其性质，包括它是如何通过嵌入自对偶图来构造的。
6. Meissner多面体的构造和性质：提出了通过在Reuleaux多面体的自对偶图的每一对对偶边上进行手术来构造Meissner多面体的方法，并证明了所得表面是常宽体的边界。
7. 从Reuleaux多边形构造常宽体的有限过程：描述了一种使用Voronoi图和Delaunay三角剖分从Reuleaux多边形构造三维常宽体的有限过程。
8. Meissner多面体与Meissner实体的关系：证明了每个Meissner多面体都是Meissner实体，并且可以近似任何三维常宽体。
9. Blaschke-Lebesgue问题的最小化体积：讨论了Blaschke-Lebesgue问题，并证明了最小化体积的凸体总是Meissner实体。

这些结论为理解和构造三维常宽体提供了重要的理论基础和方法指导。