WikiEdge:ArXiv-1904.12761

• 标题：The graphs behind Reuleaux polyhedra
• 中文标题：Reuleaux多面体背后的图形
• 发布日期：2019-04-29 15:06:13+00:00
• 作者：Luis Montejano, Eric Pauli, Miguel Raggi, Edgardo Roldán-Pensado
• 分类：cs.CG, math.CO
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1904.12761v1

摘要：本文研究了由Reuleaux多面体产生的图。这样的图必须是平面的，3连通的，且强自对偶的。我们研究了这些条件何时足够的问题。 如果$G$是具有同构$\tau : G \to G^*$的图（其中$G^*$是唯一的对偶图），度量映射是一个映射$\eta : V(G) \to \mathbb R^3$，使得$\eta(G)$的直径为1，对于每一对顶点$(u,v)$，只要$u\in \tau(v)$，我们就有dist$(\eta(u),\eta(v)) = 1$。如果$\eta$是单射，它被称为度量嵌入。注意，度量嵌入产生了一个Reuleaux多面体。 我们的贡献有两方面：首先，我们证明任何平面的，3连通的，强自对偶的图都有一个度量映射，通过证明直径图（其顶点是$V(G)$，其边是对$(u,v)$，只要$u\in \tau(v)$）的色数最多为4，这意味着存在一个度量映射到四面体。此外，我们使用Lov\'asz邻域复杂定理在代数拓扑中证明直径图的色数正好是4。 其次，我们开发了算法，使我们能够获得所有这样的图，顶点数最多为14。此外，我们为每一个这样的图数值构造度量嵌入。从定理和这个计算证据，我们推测每一个这样的图都可以作为一个Reuleaux多面体在$\mathbb R^3$中实现。 在之前的工作中，第一作者和最后一作者描述了一种从Reuleaux多面体构造常宽体的方法。因此，从本质上讲，我们也构造了数百个新的常宽体的例子。 这与V\'azsonyi的问题，以及Blaschke-Lebesgue的问题有关。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何确定哪些图是Reuleaux多面体背后的图？
• 什么样的条件是Reuleaux多面体背后的图所必须满足的？
• 如何证明任何平面图、3-连通、强自对偶图都有度量映射？
• 如何证明直径图的色数至多为4？
• 如何开发算法来获得所有这样的图，并数值构造度量嵌入？
• 每一个这样的图是否都可以在R3中实现为Reuleaux多面体？
• 如何从Reuleaux多面体构造出恒宽体？
• 如何解决Vázsonyi问题和Blaschke-Lebesgue问题？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. Reuleaux多面体的图论基础：
   • Reuleaux多面体是一类特殊的几何形状，由一系列半径为1的球体在三维空间中相交形成。这类多面体在凸几何和离散几何中具有重要性。
   • 研究Reuleaux多面体背后的图论结构，特别是那些满足平面性、3-连通性和强自对偶性的图，对于理解这类多面体的性质至关重要。
2. 图的自对偶性和度量嵌入：
   • 自对偶图是一类特殊的图，它们可以通过一个称为对偶的映射与自身形成一一对应关系。这种映射在图论中有着广泛的应用。
   • 度量嵌入是将图的顶点映射到三维空间中，使得满足特定距离条件的映射。这种嵌入可以用来构造Reuleaux多面体。
3. Reuleaux多面体的构造与分类：
   • 构造Reuleaux多面体的一种方法是从一个满足特定条件的自对偶图出发，通过度量嵌入来实现。
   • 对这些图进行分类，并探索它们是否可以实现为Reuleaux多面体，是本文的主要研究目标之一。
4. 与Vázsonyi和Blaschke-Lebesgue问题的关联：
   • Vázsonyi问题涉及到在三维空间中寻找具有特定直径性质的点集，而Blaschke-Lebesgue问题则关注在常宽凸体类中最小化体积。
   • Reuleaux多面体与这些问题有着密切的联系，因为它们提供了一种构造具有特定几何性质的凸体的方法。

综上所述，这篇文献的背景强调了Reuleaux多面体背后的图论结构的重要性，以及如何通过图的自对偶性和度量嵌入来构造和分类这些多面体。同时，这些研究也与解决Vázsonyi和Blaschke-Lebesgue问题有着直接的联系。