WikiEdge:ArXiv-2011.06398

• 标题：Spherical coverings and X-raying convex bodies of constant width
• 中文标题：球形覆盖和常宽凸体的X射线
• 发布日期：2020-11-12 14:11:57+00:00
• 作者：A. Bondarenko, A. Prymak, D. Radchenko
• 分类：math.MG, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2011.06398v3

摘要：K. Bezdek 和 Gy. Kiss 展示了，存在以原点为中心的单位球在 $\mathbb{E}^n$ 中至多由 $2^n$ 个相同的球帽覆盖，其半径不超过 $\arccos\sqrt{\frac{n-1}{2n}}$，这暗示了对于在 $\mathbb{E}^n$ 中的常宽凸体的 $X$-射线猜想和照明猜想，并且为 $4\le n\le 6$ 构造了这样的覆盖。在这里，我们给出了对于 $5\le n\le 15$ 的这样的构造，其球帽数量少于 $2^n$。 对于在 $\mathbb{E}^n$ 中的任何常宽凸体的照明数，O.~Schramm 证明了一个上界估计，其指数增长的阶为 $(3/2)^{n/2}$。特别地，该估计对于 $n\ge 16$ 小于 $3\cdot 2^{n-2}$，确认了上述猜想对于常宽凸体类的适用性。因此，我们的结果解决了未决的 $7\le n\le 15$ 的情况。 我们还展示了如何在计算机上有效地计算给定离散点集在球面上的覆盖半径。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何构造单位球面上的球冠覆盖，使得覆盖半径不超过 \(\arccos \left(\sqrt{\frac{n-1}{2n}}\right)\) 并且球冠数量不超过 \(2n\)？
• 对于 \(5 \leq n \leq 15\) 的维度，能否找到少于 \(2n\) 个球冠的覆盖？
• 如何计算给定离散点集在球面上的覆盖半径？
• 如何证明对于常宽凸体的X射线猜想和照明猜想？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 球面覆盖问题与凸体的X射线问题：
   • 球面覆盖问题涉及将球面上的点集用最少数量的球冠覆盖，这种研究在编码理论、通信和计算机科学中有广泛应用。
   • X射线问题则关注于确定最少需要多少方向的射线能够穿过一个凸体，使其内部的每个点至少被一条射线穿过。
   • 这两个问题在凸体几何学中具有重要意义，并且与许多数学领域的问题相关，如凸体的照明问题。
2. 凸体的常宽性质：
   • 常宽凸体是一类特殊的凸体，其在任何方向上的投影长度都是常数。这类凸体在几何学、物理学和工程学中都有重要应用。
   • 常宽凸体的研究有助于理解更一般的凸体的性质，以及它们在不同领域中的应用。
3. 数学上的猜想与证明：
   • 文献中提到了X射线猜想和照明猜想，这些猜想是关于凸体的X射线数和照明数的上界估计。
   • 这些猜想的证明不仅对数学理论有重要意义，而且对实际应用，如计算机图形学和优化问题，也有潜在的影响。
4. 计算方法的应用：
   • 作者提到了使用计算方法来解决球面覆盖问题，这表明数学问题的解决越来越依赖于计算机辅助技术。
   • 计算方法的应用提高了解决复杂数学问题的效率，并允许研究者探索更高维度的问题。

综上所述，这篇文献的背景强调了球面覆盖问题和X射线问题在数学和应用科学中的重要性，以及常宽凸体在这些领域中的特殊角色。同时，它也展示了计算方法在现代数学研究中的关键作用。