WikiEdge:ArXiv-2109.06962

• 标题：A doubly monotone flow for constant width bodies in $\mathbb{R}^3$
• 中文标题：在$\mathbb{R}^3$中的等宽体的双单调流
• 发布日期：2021-09-14 20:46:37+00:00
• 作者：Ryan Hynd
• 分类：math.FA
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2109.06962v1

摘要：我们在三维欧几里得空间的常宽体空间中引入了一种流动，该流动在时间增加的同时，增加了体积并减小了形状的外接半径。从任何初始的常宽图形开始，我们证明了流动存在于所有正时间，并且随着时间趋向于正无穷大，它收敛于一个封闭的球体。我们还预期这种流动对于负时间的研究会很有趣，并且它将提供一种机制来减少常宽体的体积并增加其外接半径。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何在三维欧几里得空间中定义一个同时增加体积和减小外接圆半径的恒宽体流？
• 从任何初始恒宽体开始，流是否对所有正时间存在，并且当时间趋于正无穷时，是否会收敛到一个闭球？
• 通过逆转时间，流的极限形状是否存在，并且是否能够提供对最小体积恒宽体和具有最大外接圆半径的恒宽体之间关系的洞察？
• 如何发展一种方法来研究恒宽体的体积最小化问题，特别是在三维空间中？
• 如何证明在三维空间中，体积最小化的恒宽体存在，并且它们是否具有最大的外接圆半径？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体的几何特性：
   • 常宽体是欧几里得空间中的一类特殊凸体，无论在哪个方向上，平行支撑平面之间的距离都是相同的。在三维空间中，球体是最简单的常宽体例子。
   • 常宽体的体积最小化问题在数学上具有重要意义，Lebesgue和Blaschke在平面上独立证明了Reuleaux三角形具有最小的面积。
   • 在三维空间中，体积最小化的常宽体存在性是Blaschke选择定理的一个结果，但这些形状的具体特性并不广为人知。
2. 常宽体的流形和演化：
   • 本文提出了一种在三维空间中常宽体的流形上定义的流，这种流同时增加体积并减少形状的外接圆半径。
   • 该流的存在性和行为被详细研究，特别是随着时间推移，流如何将任何初始形状变形为半径为1/2的球体。
   • 通过研究时间反转的流，探讨了体积最小化常宽体与具有最大外接圆半径的常宽体之间可能存在的联系。
3. 数学和物理中的流形理论：
   • 流形理论在数学和物理学中有着广泛的应用，特别是在描述几何形状的演化和优化问题中。
   • 本文提出的流是研究常宽体几何特性和优化问题的一个新工具，有助于理解常宽体的内在结构和演化规律。
4. 凸体和支撑函数的数学理论：
   • 支撑函数是描述凸体边界特性的重要工具，本文利用支撑函数来分析常宽体的几何特性。
   • 通过支撑函数，可以定义常宽体的内外半径，并研究其与体积和外接圆半径的关系。

综上所述，这篇文献的背景强调了在三维空间中常宽体的几何特性、流形和演化，以及支撑函数在描述这些特性中的应用，特别是在探讨体积最小化和外接圆半径最大化问题之间的可能联系。