WikiEdge:ArXiv-2211.06151

• 标题：On mean curvature integrals of the outer parallel convex body of constant width
• 中文标题：关于常宽度外部平行凸体的平均曲率积分
• 发布日期：2022-11-11 12:07:26+00:00
• 作者：Zezhen Sun
• 分类：math.MG, 52A20, 53C65
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2211.06151v1

摘要：在本文中，我们得到了一些关于常宽度外部平行凸体的平均曲率积分的结果。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何计算常宽体外平行凸体的平均曲率积分？
• 如何将常宽体的外平行凸体的平均曲率积分与投影体的平均曲率积分联系起来？
• 如何在Grassmann流形上计算外平行凸体的平均曲率积分的积分？
• 如何将这些结果应用于凸体理论和积分几何？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 积分几何中的平均曲率积分：
   • 平均曲率积分是积分几何中的一个基本概念，它连接了许多几何不变量，如面积、球面高斯映射的度数、欧拉-泊松特征数、高斯-克罗内克曲率等。
   • 平均曲率积分与凸体的闵可夫斯基问题积分密切相关，在凸体理论中起着重要作用。
2. 常宽凸体的外平行凸体的平均曲率积分：
   • 常宽凸体是指在任意两个平行支撑超平面之间始终保持恒定距离的凸体。
   • 研究外平行凸体的平均曲率积分有助于更深入地理解常宽凸体的几何特性。
3. 前人工作与本研究的关系：
   • Santalò 研究了在 \( \mathbb{R}^n \) 中的凸体 \( K \) 的平均曲率积分 \( M(n)_l \) 并建立了其与 \( M(r)_i \) 的关系。
   • 后续研究者如 Zhou-Jiang、Jiang-Zeng 和 Zeng-Ma-Xia 进一步研究了外平行凸体的平均曲率积分，扩展了 Santalò 的结果。
   • 本文在前人研究的基础上，进一步探讨了常宽凸体外平行凸体的平均曲率积分。

章节摘要

这篇论文是关于常宽体外平行凸体的平均曲率积分的研究，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言
   1. 平均曲率积分是积分几何的一个基本概念，它连接了许多几何不变量，如面积、球面高斯映射的度数、欧拉-泊松特征数、高斯-克罗内克曲率等。它与凸体的闵可夫斯基疑问积分密切相关，在凸体理论中起着重要作用。

1. 预备知识
   1. 定义了凸体、凸超曲面、投影体等基本概念，并介绍了闵可夫斯基疑问积分的定义和性质。
   2. 介绍了外平行凸体的概念，以及Steiner公式和其对投影体体积的影响。

1. 主要定理的证明
   1. 定理1.1
   • 证明了在不同条件下，外平行凸体的平均曲率积分可以通过原凸体的平均曲率积分和一些几何参数来表示。
   1. 定理1.2
   • 计算了在Grassmann流形上的平均曲率积分的积分，并展示了其与原凸体平均曲率积分的关系。

1. 致谢
   1. 作者感谢上海市科学技术委员会和国家自然科学基金的部分支持，并声明了研究资助和数据可用性。

1. 参考文献
   1. 列出了相关研究的参考文献，包括Santaló、Zhou-Jiang、Jiang-Zeng、Zeng-Ma-Xia等。