WikiEdge:ArXiv-2304.04035

• 标题：The density of Meissner polyhedra
• 中文标题：Meissner多面体的密度
• 发布日期：2023-04-08 15:07:22+00:00
• 作者：Ryan Hynd
• 分类：math.MG
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2304.04035v2

摘要：我们考虑在 $\mathbb{R}^3$ 中的Meissner多面体。这些是常宽体，其边界由球面和纺锤形环面的部分组成。我们通过取同心球的适当交集来定义这些形状，并显示它们在Hausdorff拓扑中是常宽体空间的稠密集。这个密度断言基本上是由Sallee证明的。然而，我们提供了一个现代的观点，考虑到最近对球多面体的理解和基于这些形状构造常宽体的进展。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• Meissner多面体在三维空间中的密度是怎样的？
• 如何证明Meissner多面体在常宽体空间中是密集的？
• Meissner多面体的体积如何计算？
• 如何使用数学软件绘制Meissner多面体的图形？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. Meissner多面体的密度研究：
   • Meissner多面体是三维空间中具有恒宽性质的几何体，它们的边界由球面和纺锤形环面的片段组成。
   • 这些几何体可以通过适当地相交相同的球体来定义，并且它们在恒宽体的空间中是密集的。
   • 先前的研究由Sallee等人进行，他们证明了某些恒宽体类也是密集的，但与Meissner多面体之间的关系尚不清楚。
   • 本文旨在通过现代视角，结合球体多面体的理解进展和基于这些形状构建恒宽体的新方法，来探讨Meissner多面体的密集性。
2. Reuleaux多面体与球体多面体的联系：
   • Reuleaux多面体是一类特殊的球体多面体，包括Reuleaux四面体，它们是Meissner四面体的构建基础。
   • 球体多面体是由有限集合的点在三维空间中定义的几何体，这些点的直径之和不超过1。
   • 本文将探讨Reuleaux多面体的构建，以及它们如何作为Meissner多面体的近似。
3. 恒宽体的几何特性：
   • 恒宽体是具有恒定宽度的几何体，即对于任意一对平行的支持平面，它们之间的距离是恒定的。
   • 这类几何体在数学和工程学中具有重要的应用，例如在机械设计和机器人路径规划中。
   • 本文将讨论Meissner多面体是否具有恒宽性质，并探索其几何特性。
4. 数学理论的应用与进展：
   • 本文将使用Hausdorff距离来衡量凸体之间的差异，并探讨Meissner多面体在恒宽体空间中的密集性。
   • 通过数学建模和计算，本文提供了对Meissner多面体体积的计算方法，以及如何使用Mathematica绘制这些几何体。

综上所述，这篇文献的背景强调了Meissner多面体在恒宽体研究中的重要性，探讨了它们的性质、构建方法以及在现代几何学中的应用。