WikiEdge:ArXiv-2304.10418

• 标题：Convex bodies of constant width with exponential illumination number
• 中文标题：具有指数照明数的常宽凸体
• 发布日期：2023-04-20 16:08:27+00:00
• 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak
• 分类：math.MG, math.CO, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2304.10418v3

摘要：我们证明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的常宽凸体，其照明数至少为$(\cos(\pi/14)+o(1))^{-n}$，回答了G. Kalai的一个问题。此外，我们证明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的直径为$1$的有限集合，它们不能被$(2/\sqrt{3}+o(1))^{n}$个直径为$1$的球覆盖，这改进了J. Bourgain和J. Lindenstrauss的一个结果。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何证明存在具有至少 (cos(π/14)+o(1))⁻ⁿ 照明数的常宽凸体？
• 如何改进 J. Bourgain 和 J. Lindenstrauss 的结果，证明有限直径集不能被 (2/√3 − o(1))ⁿ 个直径为 1 的球所覆盖？
• 如何构造具有足够“分离”方向的点集 X，以保证直径 W(X) ≤ 2 cos α？
• 如何利用概率方法证明存在满足特定条件的大集合 X，使得 Sn−1 上的每个点最多被 O(n log n) 个球 C(x, φ) 覆盖？

背景介绍

这篇论文的研究背景主要集中在以下几个方面：

1. 凸体的照明数问题：
   • 凸体的照明数是衡量凸体几何特性的一个重要参数，它与凸体的覆盖和分割问题紧密相关。
   • 照明数的概念最早由O. Schramm提出，他证明了凸体照明数的一个上界，但是否存在满足特定下界的凸体一直是一个未解决的问题。
   • G. Kalai在其研究中提出了关于照明数的猜想，即是否存在照明数至少为(1+ε)^n的常宽凸体，其中ε>0。
2. 常宽凸体的几何特性：
   • 常宽凸体是指任意两个平行支撑超平面之间的距离恒定的凸体，这类凸体在几何学中具有独特的性质和应用。
   • 常宽凸体的照明数问题与Borsuk猜想有关，Borsuk猜想是组合几何中的一个重要问题，涉及将凸体分割成直径较小的部分。
   • 研究常宽凸体的照明数有助于理解凸体的几何结构和性质，以及在组合几何中的应用。
3. 球面覆盖问题：
   • 球面覆盖问题涉及到如何用相同直径的球体覆盖一个给定的凸体或有限点集，这与凸体的照明数问题有直接联系。
   • J. Bourgain和J. Lindenstrauss的工作表明，覆盖一个有限点集至少需要1.0645^n个直径为1的球体，而本研究进一步改进了这一结果。
   • 球面覆盖问题的研究有助于理解凸体的几何结构和优化覆盖策略。

综上所述，这篇论文的研究背景强调了凸体照明数问题的重要性，以及它与常宽凸体的几何特性和球面覆盖问题的联系，这些问题在组合几何和凸体几何中具有重要的理论和应用价值。