WikiEdge:ArXiv-1607.02180

• 标题：Minimal cover of high-dimensional chaotic attractors by embedded recurrent patterns
• 中文标题：高维混沌吸引子的最小覆盖嵌入的不稳定重复模式
• 发布日期：2016-07-07 22:00:56+00:00
• 作者：Daniel L. Crane, Ruslan L. Davidchack, Alexander N. Gorban
• 分类：nlin.CD
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1607.02180v3

摘要：我们提出了一种通用方法，用嵌入的不稳定重复模式来构造高维混沌吸引子的最小覆盖。所谓的最小覆盖是指可用模式的子集，使得预定义接近阈值的混沌动力学的最小覆盖近似与全套可用集合的近似一样好。基于有向Hausdorff距离概念的接近度测量，可以自由选择并适应给定混沌系统的属性。在周期域上的Kuramoto-Sivashinsky系统的时空混沌吸引子的背景下，我们证明即使接近度测量在维数远小于包含吸引子的空间的子空间内定义，也可以忠实地构造最小覆盖。我们讨论了如何使用最小覆盖来提供吸引子结构和其上动力学的简化描述。

问题与动机

作者面对的研究问题包括：

• 如何构建一个高维混沌吸引子的最小覆盖？
• 如何使用嵌入的不稳定周期轨道或其他不变结构来描述高维混沌动力学？
• 如何在低维投影中可靠地构建混沌吸引子的最小覆盖？
• 如何通过最小覆盖集来近似混沌轨迹？
• 如何基于最小覆盖集中的模式构建马尔可夫型模型？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 高维混沌吸引子的最小覆盖
   • 混沌吸引子的不稳定周期轨道是其结构的基础，较短的轨道提供了整体结构，而较长的轨道则在更小的邻域内细化了这个骨架。
   • 这种属性最早由庞加莱猜想提出，即任何动力系统的运动都可以通过周期型的运动来近似。
   • 对于低维系统，这种方法取得了相当的成功，并发展出了周期轨道理论。
   • 然而，当吸引子的维度很大时（具有几个正的李雅普诺夫指数），即使是定性描述吸引子的结构也变得具有挑战性。
2. 高维混沌系统的周期轨道定位
   • 最近几年，在高维混沌系统中定位周期轨道和其他类型的复发模式方面取得了显著进展。
   • 例如，Lopez等人提出了一种寻找具有连续对称性的微分方程的相对周期解的方法，并用此方法找到了复杂Ginzburg-Landau方程的相对周期解。
   • Hof等人在湍流管流中发现了行波的实验证据，与Faisst和Eckhardt的数值研究一致。
   • Zoldi和Greenside使用阻尼-牛顿方法在Kuramoto-Sivashinsky (KS) 方程中找到了不稳定的周期轨道。
   • Cvitanovic等人使用多重射击和Levenberg-Marquardt算法在周期域的KS方程中定位了超过60,000个不稳定的复发模式。
3. 混沌吸引子结构的描述
   • 越来越多的研究试图用嵌入的不稳定周期轨道或其他不变结构来描述高维混沌动力学。
   • 对于弱湍流流动，例如Kawahara等人的工作，Chandler和Kerswell的工作，Budanur等人的工作，Graham和Floryan的工作。
   • 更抽象的模型，如Maiocchi等人对Lorenz’96模型的研究。
   • 一般来说，了解复发结构可以用于开发模型简化和粗粒化方法来表示复杂的高维动力系统，例如通过马尔可夫链、符号动力学、主曼ifold、多尺度建模等。
4. 大量复发模式的信息利用
   • 鉴于在给定的混沌系统中检测到了大量的复发模式，很明显数据中存在大量的冗余：在相空间中彼此“接近”的复发模式包含了关于吸引子在其邻域内结构和动力学的相似信息。
   • 这引出了如何选择一个代表性的小的复发模式子集，这些模式子集提供了与完整可用集合相同的关于吸引子的信息。

综上所述，这篇文献的背景强调了在高维混沌系统中，如何利用周期轨道和其他复发模式的信息来描述吸引子的结构和动力学。