WikiEdge:ArXiv-2406.18428

• 标题：Small volume bodies of constant width with tetrahedral symmetries
• 中文标题：具有四面体对称性的小体积常宽体
• 发布日期：2024-06-26 15:21:58+00:00
• 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak, Danylo Radchenko
• 分类：math.MG, Primary 52A20, Secondary 52A15, 52A23, 52A40, 28A75, 49Q20
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2406.18428v1

摘要：对于所有的 $n\ge 2$，我们构造了一个在 $\mathbb{E}^n$ 中宽度为 $2$ 的体积小且具有规则 $n$-单形对称性的体 $U_n$。$U_2$ 是 Reuleaux 三角形。据我们所知，$U_3$ 之前没有被构造过，其体积小于其他具有四面体对称性的三维等宽体的体积。虽然 $U_3$ 的体积略大于宽度为 $2$ 的 Meissner 体的体积，但它超过后者的体积不到 $0.137\%$。对于所有大的 $n$，$U_n$ 的体积小于半径为 $0.891$ 的球的体积。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何构造具有四面体对称性的常宽体，并且体积尽可能小？
• 在三维空间中，是否存在体积比已知的Meissner体更小的常宽体？
• 对于较大的n值，Un的体积是否小于半径为0.891的球体的体积？
• Un是否是具有规则n-单形对称性的常宽体中体积最小的？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体的研究：
   • 在欧几里得空间中，一个凸体如果其在任何线上的投影长度都相同，则称之为具有常宽。
   • 常宽体的研究涉及了数学的多个领域，包括凸体几何、优化和计算几何。
   • 历史上，布拉斯克和勒贝格证明了在二维空间中，最小的常宽体是勒洛三角形。
2. 三维空间中的最小体积问题：
   • 对于三维空间，梅斯纳体被认为是具有最小体积的常宽体，但这个问题仍然是一个未解决的问题。
   • 文献[17]展示了如何通过修改勒洛三角形的直接推广来构造三维常宽体。
3. 高维空间中的常宽体：
   • 在高维空间中，寻找具有最小体积的常宽体是一个更具挑战性的问题。
   • 作者们在文献[2]中与纳扎罗夫合作，构造了一组新的常宽体，其体积远小于相同宽度的球体。
   • 本文提出了一个新的构造方法，用于生成具有四面体对称性的常宽体，这些体在高维空间中具有潜在的最小体积。
4. 对称性和优化问题：
   • 具有规则对称性的凸体在数学和物理中都有重要的应用。
   • 本文探讨了具有规则n-单形对称性的常宽体，这对于理解高维空间中的几何结构和优化问题具有重要意义。

综上所述，这篇文献的背景强调了在不同维度空间中寻找具有最小体积的常宽体的重要性，以及对称性在这些研究中的作用。

章节摘要

这篇论文是关于在高维空间中具有恒定宽度和四面体对称性的小型体积体的研究，主要内容包括：

1. 引言：
   • 定义了在n维欧几里得空间中的凸体，以及具有恒定宽度的凸体。
   • 回顾了有关恒定宽度体的文献，并提到了Urysohn不等式。
   • 讨论了在二维空间中具有最小面积的恒定宽度体是Reuleaux三角形。
   • 提到了Blaschke-Lebesgue问题，即寻找固定恒定宽度的凸体的最小可能体积。
   • 介绍了Meissner体，并提到了Bonnesen和Fenchel的猜想。
   • 讨论了具有四面体对称性的三维恒定宽度体。
   • 提出了一个问题，即是否存在具有四面体对称性的恒定宽度凸体，其体积小于球体的体积。

1. Un的体积：
   • 讨论了U2（Reuleaux三角形）和U3的体积。
   • 提出了定理1，说明Un是具有四面体对称性的恒定宽度2的凸体。
   • 提出了定理2，给出了U3体积的计算公式。
   • 比较了U3和Meissner体的体积，发现U3的体积略大，但具有四面体对称性。

1. 高维情况：
   • 提出了定理3，对于足够大的n，Un的体积小于半径为0.891的球体的体积。
   • 讨论了如何通过估计Mn+1的体积来简化高维情况的问题。

1. 附录A. U3的体积计算：
   • 描述了如何使用支持函数来计算三维恒定宽度体的体积。
   • 提供了Mn支持函数的公式。
   • 详细说明了U3支持函数的计算方法。
   • 展示了如何通过积分来计算U3的体积。

研究方法

这篇论文通过数学构造和计算分析，探讨了具有四面体对称性的常宽体的体积问题。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 数学构造：
   • 构造了在n维欧几里得空间En中具有常宽2的凸体Un，这些凸体具有小体积和规则n-单形的对称性。
   • 特别地，U2是Reuleaux三角形，而U3是新构造的，其体积小于其他具有四面体对称性的三维常宽体。
   • 对于所有大的n值，Un的体积小于半径为0.891的球体的体积。
2. 计算分析：
   • 利用Urysohn不等式和Blaschke-Lebesgue问题，分析了常宽体的体积下界。
   • 对于U3，详细计算了其体积，并与Meissner体的体积进行了比较。
   • 通过积分和对称性分析，计算了U3的体积，得出其体积略大于Meissner体，但仅超过不到0.137%。
   • 对于高维情况，通过估计Mn+1的体积，得出Un的体积上界。
3. 理论证明：
   • 证明了Un是具有规则n-单形对称性的En中的常宽2凸体。
   • 对于U3，提供了详细的体积计算证明，包括积分的计算和对称性的利用。
   • 证明了对于所有大的n值，Un的体积小于半径为0.891的球体的体积。
4. 问题提出：
   • 提出了关于Un是否是具有规则单形对称性的En中常宽体的体积最小化器的问题。
   • 对于n=3的情况，探讨了U3与Meissner体的体积比较，以及它们是否可能是体积最小化器。
   • 对于小的n>3，提出了比较Un体积与通过Lachand-Robert和Oudet的升维过程得到的体的体积的问题。

这篇论文的方法论分析结果表明，通过数学构造和计算分析，作者成功地构造了具有小体积和规则n-单形对称性的常宽体，并探讨了它们在不同维度下的体积特性，为解决Blaschke-Lebesgue问题提供了新的视角和工具。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 构造的凸体：对于每一个维度 \( n \geq 2 \)，作者构造了一个具有常宽2和较小体积的凸体 \( U_n \)，这些凸体在 \( E_n \) 中具有正则 \( n \)-单形的对称性。
2. 二维情况：当 \( n = 2 \) 时，\( U_2 \) 是一个勒洛三角形，这是所有具有常宽的平面凸体中面积最小的。
3. 三维情况：当 \( n = 3 \) 时，\( U_3 \) 的体积小于其他具有四面体对称性的三维常宽凸体的体积。
4. 与 Meissner 体的比较：尽管 \( U_3 \) 的体积略大于宽度为2的 Meissner 体的体积，但超出部分不到0.137%。
5. 高维情况：对于所有较大的 \( n \)，\( U_n \) 的体积小于半径为0.891的球体的体积。
6. 对称性：\( U_n \) 具有正则 \( n \)-单形的对称性群。
7. 体积计算：对于三维情况，\( U_3 \) 的体积被详细计算，并且与 Meissner 体的体积进行了比较。
8. 最小体积问题：作者提出了一个问题，即 \( U_n \) 是否是具有正则单形对称性的 \( E_n \) 中所有常宽凸体中体积最小的。
9. 高维体积估计：作者证明了对于所有 \( n \geq n_0 \)，\( U_n \) 的体积小于半径为0.891的 \( n \)-维球体的体积。

这些结论为理解在不同维度中具有特定对称性的常宽凸体的体积特性提供了重要的见解。