WikiEdge:ArXiv-1206.0892

• 标题：On the multiple Borsuk numbers of sets
• 中文标题：关于集合的多重Borsuk数
• 发布日期：2012-06-05 12:02:00+00:00
• 作者：M. Hujter, Z. Lángi
• 分类：math.MG, math.CO, 52C17, 05C15, 52C10
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1206.0892v2

摘要：Borsuk数是欧几里得n空间中直径d>0的集合S的最小值m，使得S可以被划分为直径小于d的m个集合。我们的目标是以以下方式推广这个概念：这样一个集合S的k倍Borsuk数是最小的m值，使得S有一个由直径小于d的m个集合组成的k倍覆盖。在本文中，我们描述了欧几里得平面中集合的k倍Borsuk数，给出了中心对称集、光滑体和常宽凸体的上下界，并且检查了欧几里得3空间中有限点集的k倍Borsuk数。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何定义并研究集合的k重Borsuk数？
• 在欧几里得平面中，集合的k重Borsuk数有何特性？
• 对于具有特定对称性的集合，如中心对称集合、平滑体和常宽凸体，k重Borsuk数的界限是什么？
• 在欧几里得3维空间中，有限点集的k重Borsuk数如何表现？
• 对于具有大的k重Borsuk数的集合，以及具有非平凡对称群的集合，其k重Borsuk数有何特点？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. Borsuk数的概念与历史：
   • Borsuk数是离散几何学中的一个基本概念，起源于Borsuk在1933年提出的一个猜想。
   • 该猜想认为，在欧几里得空间中，任意直径为d的集合可以被分割成n+1个子集，每个子集的直径都小于d。
   • 尽管这个猜想在1993年被Kahn和Kalai证明是错误的，但Borsuk数的研究仍然是离散几何学中的一个重要问题。

1. Borsuk问题的推广：
   • 从20世纪30年代开始，Borsuk问题激发了许多研究者的兴趣，并导致了多个特殊情况下的结果。
   • 例如，在二维和三维空间中的集合、具有某些对称性的集合或平滑体等。
   • 此外，Borsuk问题也被推广到了不同的度量空间，如有限维的赋范空间或使用Hamming距离的二进制码。

1. k重Borsuk数的引入：
   • 作者提出了k重Borsuk数的概念，这是Borsuk数的一个自然推广。
   • 对于一个直径为d的集合S，k重Borsuk数是最小的正整数m，使得存在一个k重覆盖，由m个子集组成，每个子集的直径都严格小于d。
   • 这个新概念为Borsuk问题的研究提供了新的视角，并引发了一系列未解决的问题。

1. 研究目标与方法：
   • 本文的目标是研究k重Borsuk数在欧几里得空间中集合的性质。
   • 作者首先对平面集合的k重Borsuk数进行了表征，并给出了平滑体、中心对称集合和常宽凸体的k重Borsuk数的界限。
   • 此外，作者还探讨了三维空间中有限点集的k重Borsuk数，特别是那些具有大的k重Borsuk数的集合，以及那些具有非平凡对称群的集合。

综上所述，这篇文献的背景强调了Borsuk数在离散几何学中的重要性，以及k重Borsuk数这一新概念如何为Borsuk问题的研究提供新的视角和挑战。