WikiEdge:ArXiv-1206.0892：修订间差异

来自WikiEdge
跳转到导航 跳转到搜索
←上一编辑下一编辑→
可视化wikitext
David（留言 | 贡献）
机器人
1,726次编辑
Updated page by David
第21行： 第21行：
#* 该猜想认为，在[[欧几里得空间]]中，任意直径为d的集合可以被分割成n+1个子集，每个子集的直径都小于d。
#* 该猜想认为，在[[欧几里得空间]]中，任意直径为d的集合可以被分割成n+1个子集，每个子集的直径都小于d。
#* 尽管这个猜想在1993年被Kahn和Kalai证明是错误的，但Borsuk数的研究仍然是离散几何学中的一个重要问题。
#* 尽管这个猜想在1993年被Kahn和Kalai证明是错误的，但Borsuk数的研究仍然是离散几何学中的一个重要问题。
# '''Borsuk问题的推广'''：
# '''Borsuk问题的推广'''：
#* 从20世纪30年代开始，Borsuk问题激发了许多研究者的兴趣，并导致了多个特殊情况下的结果。
#* 从20世纪30年代开始，Borsuk问题激发了许多研究者的兴趣，并导致了多个特殊情况下的结果。
#* 例如，在二维和三维空间中的集合、具有某些对称性的集合或平滑体等。
#* 例如，在二维和三维空间中的集合、具有某些对称性的集合或平滑体等。
#* 此外，Borsuk问题也被推广到了不同的度量空间，如有限维的赋范空间或使用[[Hamming距离]]的二进制码。
#* 此外，Borsuk问题也被推广到了不同的度量空间，如有限维的赋范空间或使用[[Hamming距离]]的二进制码。
# '''k重Borsuk数的引入'''：
# '''k重Borsuk数的引入'''：
#* 作者提出了k重Borsuk数的概念，这是Borsuk数的一个自然推广。
#* 作者提出了k重Borsuk数的概念，这是Borsuk数的一个自然推广。
#* 对于一个直径为d的集合S，k重Borsuk数是最小的正整数m，使得存在一个k重覆盖，由m个子集组成，每个子集的直径都严格小于d。
#* 对于一个直径为d的集合S，k重Borsuk数是最小的正整数m，使得存在一个k重覆盖，由m个子集组成，每个子集的直径都严格小于d。
#* 这个新概念为Borsuk问题的研究提供了新的视角，并引发了一系列未解决的问题。
#* 这个新概念为Borsuk问题的研究提供了新的视角，并引发了一系列未解决的问题。
# '''研究目标与方法'''：
# '''研究目标与方法'''：
#* 本文的目标是研究k重Borsuk数在欧几里得空间中集合的性质。
#* 本文的目标是研究k重Borsuk数在欧几里得空间中集合的性质。
#* 作者首先对平面集合的k重Borsuk数进行了表征，并给出了平滑体、中心对称集合和常宽凸体的k重Borsuk数的界限。
#* 作者首先对平面集合的k重Borsuk数进行了表征，并给出了平滑体、中心对称集合和常宽凸体的k重Borsuk数的界限。
#* 此外，作者还探讨了三维空间中有限点集的k重Borsuk数，特别是那些具有大的k重Borsuk数的集合，以及那些具有非平凡对称群的集合。
#* 此外，作者还探讨了三维空间中有限点集的k重Borsuk数，特别是那些具有大的k重Borsuk数的集合，以及那些具有非平凡对称群的集合。
综上所述，这篇文献的背景强调了Borsuk数在离散几何学中的重要性，以及k重Borsuk数这一新概念如何为Borsuk问题的研究提供新的视角和挑战。
综上所述，这篇文献的背景强调了Borsuk数在离散几何学中的重要性，以及k重Borsuk数这一新概念如何为Borsuk问题的研究提供新的视角和挑战。


2024年9月28日 (六) 10:04的版本

  • 标题：On the multiple Borsuk numbers of sets
  • 中文标题：关于集合的多重Borsuk数
  • 发布日期：2012-06-05 12:02:00+00:00
  • 作者：M. Hujter, Z. Lángi
  • 分类：math.MG, math.CO, 52C17, 05C15, 52C10
  • 原文链接：http://arxiv.org/abs/1206.0892v2

摘要：Borsuk数是欧几里得n空间中直径d>0的集合S的最小值m，使得S可以被划分为直径小于d的m个集合。我们的目标是以以下方式推广这个概念：这样一个集合S的k倍Borsuk数是最小的m值，使得S有一个由直径小于d的m个集合组成的k倍覆盖。在本文中，我们描述了欧几里得平面中集合的k倍Borsuk数，给出了中心对称集、光滑体和常宽凸体的上下界，并且检查了欧几里得3空间中有限点集的k倍Borsuk数。

问题与动机

作者的研究问题包括：

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

  1. Borsuk数的概念与历史：
    • Borsuk数是离散几何学中的一个基本概念，起源于Borsuk在1933年提出的一个猜想。
    • 该猜想认为，在欧几里得空间中，任意直径为d的集合可以被分割成n+1个子集，每个子集的直径都小于d。
    • 尽管这个猜想在1993年被Kahn和Kalai证明是错误的，但Borsuk数的研究仍然是离散几何学中的一个重要问题。
  2. Borsuk问题的推广：
    • 从20世纪30年代开始，Borsuk问题激发了许多研究者的兴趣，并导致了多个特殊情况下的结果。
    • 例如，在二维和三维空间中的集合、具有某些对称性的集合或平滑体等。
    • 此外，Borsuk问题也被推广到了不同的度量空间，如有限维的赋范空间或使用Hamming距离的二进制码。
  3. k重Borsuk数的引入：
    • 作者提出了k重Borsuk数的概念，这是Borsuk数的一个自然推广。
    • 对于一个直径为d的集合S，k重Borsuk数是最小的正整数m，使得存在一个k重覆盖，由m个子集组成，每个子集的直径都严格小于d。
    • 这个新概念为Borsuk问题的研究提供了新的视角，并引发了一系列未解决的问题。
  4. 研究目标与方法：
    • 本文的目标是研究k重Borsuk数在欧几里得空间中集合的性质。
    • 作者首先对平面集合的k重Borsuk数进行了表征，并给出了平滑体、中心对称集合和常宽凸体的k重Borsuk数的界限。
    • 此外，作者还探讨了三维空间中有限点集的k重Borsuk数，特别是那些具有大的k重Borsuk数的集合，以及那些具有非平凡对称群的集合。

综上所述，这篇文献的背景强调了Borsuk数在离散几何学中的重要性，以及k重Borsuk数这一新概念如何为Borsuk问题的研究提供新的视角和挑战。

章节摘要

这篇论文是关于欧几里得空间中集合的多重Borsuk数的研究，其主要内容可以概括如下：

  1. 引言：介绍了Borsuk问题的历史背景和研究进展，以及Borsuk数的一般化定义，即k重Borsuk数。讨论了Borsuk数在离散几何学中的重要性，并提出了本文的研究目标和方法。
  2. 多重Borsuk数的定义和初步观察：
    • 定义了k重Borsuk数，并讨论了其与原Borsuk问题的关系。
    • 提出了几个关于k重Borsuk数的初步观察和性质，包括子加性、下界估计和边界关系。
  3. 欧几里得平面上的集合：
    • 利用Boltyanskii的结果，给出了平面集合的Borsuk数的刻画。
    • 证明了对于具有常宽凸体的平面集合，其k重Borsuk数与常宽凸体的k重Borsuk数相同。
    • 讨论了Reuleaux多边形的k重Borsuk数。
  4. 中心对称集合和光滑体：
    • 讨论了中心对称集合和光滑体的k重Borsuk数，并给出了与欧几里得n-球的k重Borsuk数的比较。
    • 证明了对于这些集合，其k重Borsuk数不超过n-球的k重Borsuk数。
  5. 欧几里得3空间中的有限点集：
    • 研究了3维空间中有限点集的k重Borsuk数，并提出了寻找具有特定k重Borsuk数的点集的问题。
    • 给出了具有大k重Borsuk数的点集的性质，以及具有非平凡对称群的点集的k重Borsuk数。
    • 提出了关于有限点集的k重Borsuk数的猜想和问题。
  6. 对称有限点集的Borsuk数：
    • 探讨了具有非平凡对称群的有限点集在3维空间中的Borsuk数。
    • 证明了如果点集的对称群包含正四面体的对称群，则其直径图包含K4作为子图。
    • 提出了关于对称点集的Borsuk数和直径图性质的问题。
  7. 额外的评论：
    • 对于n维集合的Borsuk数，提出了关于其渐近行为的问题。
    • 提出了关于k重Borsuk数和n维集合Borsuk数之间关系的猜想。
取自“http://zh.wikiedge.org/index.php?title=WikiEdge:ArXiv-1206.0892&oldid=2353”