WikiEdge:ArXiv-1312.4141

• 标题：Hyperspaces of convex bodies of constant width
• 中文标题：常宽凸体的超空间
• 发布日期：2013-12-15 12:15:14+00:00
• 作者：Sergey Antonyan, Natalia Jonard-Pérez, Saúl Juárez-Ordóñez
• 分类：math.GT, math.MG, 57N20, 57S10, 52A99, 52A20, 54B20, 54C55
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1312.4141v1

摘要：设n为大于或等于2的自然数。在本文中，我们研究了具有Hausdorff度量拓扑的常宽凸子集的某些超空间的拓扑结构。我们关注的是所有紧凸子集的超空间cw_D(R^n)，其常宽度d\in D，其中D是[0,\infty)的凸子集。我们的主要结果表明，cw_D(R^n)与D\times R^n\times Q同胚，其中Q表示Hilbert立方体。我们还证明了由所有相对宽度为d\in D的紧凸集对组成的超空间crw_D(R^n)与cw_D(R^n)同胚。特别地，我们证明了所有常宽紧凸体的超空间cw(R^n)，以及所有相对正宽度的紧凸集对的超空间crw(R^n)，都与R^{n+1}\times Q同胚。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何描述所有具有常宽的紧致凸子集的超空间（hyperspace）在欧几里得空间中的拓扑结构？
• 对于任意非空凸子集D⊂[0, ∞)，如何证明超空间cwD(Rn)和crwD(Rn)同胚于D×Rn×Q，其中Q表示Hilbert立方体？
• 如何证明对于所有n≥2和所有非空凸子集D≠{0}的[0, ∞)，超空间cwD(Rn)和crwD(Rn)的拓扑结构？
• 如何填补文献[4]中证明cwD(Rn)是可缩Hilbert立方体流形时存在的证明漏洞？
• 如何利用已知的凸体常宽概念，推广到具有常相对宽的紧致凸集对，并研究其性质？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 凸体的超空间研究：
   • 研究涉及所有非空紧致凸子集的超空间 \( \mathcal{C}(\mathbb{R}^n) \)，这些子集在欧几里得空间 \( \mathbb{R}^n \) 中以Hausdorff度量拓扑结构为特征。
   • 特别关注具有恒定宽度或相对恒定宽度的凸集的子空间，这些概念在凸体几何学中具有重要地位。
2. 恒定宽度和相对恒定宽度的概念：
   • 凸集的恒定宽度定义为该集合任意两个平行支撑超平面之间的距离相等。
   • 相对恒定宽度是恒定宽度概念的推广，涉及两个凸集之间的距离关系。
3. 数学和拓扑结构的深入分析：
   • 论文探讨了这些超空间的拓扑结构，特别是它们与Hilbert立方体的联系。
   • 研究了这些空间的映射性质，例如连续性和紧致性，以及它们在仿射变换下的不变性。
4. Q-流形和映射的性质：
   • 论文证明了这些超空间是Q-流形，即它们是可分的、可度量的，并且每个开覆盖都是与Hilbert立方体的开子集同胚。
   • 讨论了映射如 \( \eta_D \) 的性质，这些映射将凸体超空间映射到更简单的拓扑空间，如 \( D \times \mathbb{R}^n \)。

综上所述，这篇文献的背景强调了在欧几里得空间中，具有恒定宽度或相对恒定宽度的凸体超空间的拓扑和几何性质，以及这些性质如何通过映射和变换得以体现。

章节摘要

这篇论文是关于欧几里得空间中常宽凸体的超空间结构的研究，主要内容包括：

1. 引言：
   • 定义了欧几里得空间中所有非空紧致凸子集的超空间cc(Rn)，并介绍了由Hausdorff度量诱导的拓扑。
   • 讨论了常宽凸体的概念，即两个平行支撑超平面间的距离相等的凸集。
   • 提出了常相对宽对的概念，这是常宽凸集概念的推广。
2. 预备知识：
   • 介绍了绝对邻域收缩(ANR)、适当的映射、单元映射等拓扑空间的概念。
   • 回顾了凸集的一些基本操作，如Minkowski和、支撑函数和宽度函数。
3. 超空间cwd(Rn)：
   • 描述了一维情况下常宽凸体超空间的拓扑结构。
   • 证明了对于n≥2，常宽凸体超空间是一个可缩的Q-流形。
   • 展示了如何构造任意维度中的常宽凸体。
4. 超空间crwD(Rn)：
   • 讨论了常相对宽对的超空间的拓扑结构。
   • 证明了对于n≥2，常相对宽对超空间与常宽凸体超空间同胚。
5. 主要结果：
   • 证明了对于所有非空凸子集D≠{0}，常宽凸体超空间cwd(Rn)与D×Rn×Q同胚。
   • 证明了常相对宽对超空间crwD(Rn)与cwd(Rn)同胚。
   • 讨论了这些结果在不同维度和不同凸子集D下的具体表现。