WikiEdge:ArXiv-1404.7019

• 标题：Typical curvature behaviour of bodies of constant width
• 中文标题：常宽体的典型曲率行为
• 发布日期：2014-04-28 15:24:02+00:00
• 作者：Imre Barany, rolf Schneider
• 分类：math.MG, 52A20, 53A07
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1404.7019v1

摘要：众所周知，一个在Baire类别意义上典型的$n$维凸体表现出一种简单但高度非直观的曲率行为：在其边界点的几乎所有位置（在测度意义上），所有曲率都为零，但也存在一个密集且不可数的边界点集，其中所有曲率都是无穷大。本文的目的是为给定常宽的典型凸体找到这种现象的对应物。这样的体不能有零曲率。一个主要结果表明，对于一个典型的$n$维常宽为$1$的凸体（不失一般性），在其边界点的几乎所有位置（在测度意义上），所有曲率都等于$1$。（相比之下，注意到宽度为$1$的球的半径为$1/2$，因此所有的曲率都等于$2$。）由于常宽性质对于Minkowski加法是线性的，证明需要借助于线性曲率概念，这由切向曲率半径提供。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何描述具有恒定宽度的典型凸体的典型曲率行为？
• 如何证明对于具有恒定宽度的典型凸体，几乎所有的边界点的曲率要么全部为1，要么至少有一个曲率为0？
• 如何证明在具有恒定宽度的凸体中，存在一个不可数的、密集的边界点集合，其中所有曲率都为零？
• 如何将二维平面中关于常宽凸体的曲率行为扩展到更高维度？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 凸体的典型曲率行为：
   • 在凸体的研究中，一个众所周知的定理是 Alekandrov 提出的，它表明几乎所有凸体的边界点在（n-1）维 Hausdorff 测度意义上都是法线点。在这些点上，所有截面曲率都存在，并且满足 Euler 和 Meusnier 定理。
   • 从一般性的角度来看，一个典型的凸体（在 Baire 类别的意义上）是严格凸的并且平滑（其边界是 C1 类的），但 Zamfirescu 证明了在其几乎所有边界点上曲率为零。
   • 最近的观察表明，一个典型凸体的边界包含一个不可数的、密集的点集，其中所有曲率都是无限的，并且这些点集在单位球 Sn-1 中的球面像具有满的 Hn-1 测度。
2. 等宽体的有趣子类：
   • 等宽体是凸体研究中一个引人入胜且被广泛研究的子类。特别地，考虑常数宽度为 1 的等宽体。
   • 一个凸体 K 具有常数宽度 1，如果 K 的任意两个不同的平行支撑超平面之间的距离为 1，或者等价地，如果 K 与其反射图像 -K 的 Minkowski 和是单位球。
   • Aleksandrov 展示了如果 ̺ 是 K 在具有给定外法向量 u 的（唯一）边界点处的主曲率半径，则 0 ≤ ̺ ≤ 1。
   • 类似于一般凸体的 Baire 类别型结果，可以预期对于一个典型的常数宽度 1 的凸体，曲率半径倾向于取值 0 和 1。Zamfirescu 展示了在平面上，对于一个典型的常数宽度 1 的凸域，曲率半径只取值 0 和 1。
3. 高维空间中的推广：
   • 第一个定理可以看作是这个结果在更高维度上的推广。
   • 定理 1.1 表明，在 Rn 中具有常数宽度 1 的典型凸体 K 具有这样的性质：对于 Hn-1-几乎所有的 u ∈ Sn-1，K 在法向量 u 处的所有曲率半径要么等于 1，要么至少有一个曲率半径在 u 处等于 0。
   • 定理 1.2 表明，在 Rn 中具有常数宽度 1 的典型凸体 K 具有这样的性质：对于 Hn-1-几乎所有的 x ∈ bd K，K 在 x 处的所有曲率半径都等于 1。

综上所述，这篇文献的背景强调了在凸体的典型曲率行为研究中，特别是在等宽体的曲率特性研究中，探索高维空间中凸体的曲率行为和性质的重要性和挑战。