WikiEdge:ArXiv-1404.7019

• 标题：Typical curvature behaviour of bodies of constant width
• 中文标题：常宽体的典型曲率行为
• 发布日期：2014-04-28 15:24:02+00:00
• 作者：Imre Barany, rolf Schneider
• 分类：math.MG, 52A20, 53A07
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1404.7019v1

摘要：众所周知，一个在Baire类别意义上典型的$n$维凸体表现出一种简单但高度非直观的曲率行为：在其边界点的几乎所有位置（在测度意义上），所有曲率都为零，但也存在一个密集且不可数的边界点集，其中所有曲率都是无穷大。本文的目的是为给定常宽的典型凸体找到这种现象的对应物。这样的体不能有零曲率。一个主要结果表明，对于一个典型的$n$维常宽为$1$的凸体（不失一般性），在其边界点的几乎所有位置（在测度意义上），所有曲率都等于$1$。（相比之下，注意到宽度为$1$的球的半径为$1/2$，因此所有的曲率都等于$2$。）由于常宽性质对于Minkowski加法是线性的，证明需要借助于线性曲率概念，这由切向曲率半径提供。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何描述具有恒定宽度的典型凸体的典型曲率行为？
• 如何证明对于具有恒定宽度的典型凸体，几乎所有的边界点的曲率要么全部为1，要么至少有一个曲率为0？
• 如何证明在具有恒定宽度的凸体中，存在一个不可数的、密集的边界点集合，其中所有曲率都为零？
• 如何将二维平面中关于常宽凸体的曲率行为扩展到更高维度？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 凸体的典型曲率行为：
   • 在凸体的研究中，一个众所周知的定理是 Alekandrov 提出的，它表明几乎所有凸体的边界点在（n-1）维 Hausdorff 测度意义上都是法线点。在这些点上，所有截面曲率都存在，并且满足 Euler 和 Meusnier 定理。
   • 从一般性的角度来看，一个典型的凸体（在 Baire 类别的意义上）是严格凸的并且平滑（其边界是 C1 类的），但 Zamfirescu 证明了在其几乎所有边界点上曲率为零。
   • 最近的观察表明，一个典型凸体的边界包含一个不可数的、密集的点集，其中所有曲率都是无限的，并且这些点集在单位球 Sn-1 中的球面像具有满的 Hn-1 测度。
2. 等宽体的有趣子类：
   • 等宽体是凸体研究中一个引人入胜且被广泛研究的子类。特别地，考虑常数宽度为 1 的等宽体。
   • 一个凸体 K 具有常数宽度 1，如果 K 的任意两个不同的平行支撑超平面之间的距离为 1，或者等价地，如果 K 与其反射图像 -K 的 Minkowski 和是单位球。
   • Aleksandrov 展示了如果 ̺ 是 K 在具有给定外法向量 u 的（唯一）边界点处的主曲率半径，则 0 ≤ ̺ ≤ 1。
   • 类似于一般凸体的 Baire 类别型结果，可以预期对于一个典型的常数宽度 1 的凸体，曲率半径倾向于取值 0 和 1。Zamfirescu 展示了在平面上，对于一个典型的常数宽度 1 的凸域，曲率半径只取值 0 和 1。
3. 高维空间中的推广：
   • 第一个定理可以看作是这个结果在更高维度上的推广。
   • 定理 1.1 表明，在 Rn 中具有常数宽度 1 的典型凸体 K 具有这样的性质：对于 Hn-1-几乎所有的 u ∈ Sn-1，K 在法向量 u 处的所有曲率半径要么等于 1，要么至少有一个曲率半径在 u 处等于 0。
   • 定理 1.2 表明，在 Rn 中具有常数宽度 1 的典型凸体 K 具有这样的性质：对于 Hn-1-几乎所有的 x ∈ bd K，K 在 x 处的所有曲率半径都等于 1。

综上所述，这篇文献的背景强调了在凸体的典型曲率行为研究中，特别是在等宽体的曲率特性研究中，探索高维空间中凸体的曲率行为和性质的重要性和挑战。

章节摘要

这篇论文研究了具有恒定宽度的典型凸体的典型曲率行为，主要内容包括：

1. 引言：介绍了凸体的一般性质，特别是具有恒定宽度的凸体。凸体的恒定宽度定义为任意两个不同平行支撑超平面之间的距离为1。论文的目标是探索具有恒定宽度的典型凸体的曲率行为。
2. 预备知识：定义了凸体的基本术语和符号，例如凸体、支撑元素、法向量等，并介绍了凸体的支撑函数和常数宽度的定义。
3. 切线曲率半径：详细探讨了凸体的切线曲率半径，这是研究凸体曲率的一种方法。介绍了如何通过凸体的支撑函数来定义和计算切线曲率半径。
4. 具有恒定宽度的凸体的逼近结果：提出了一个逼近定理，用于构造具有特定曲率属性的凸体。该定理是证明主要结果的关键。
5. 主要结果的证明：
   • 证明了定理1.1：具有恒定宽度1的典型凸体K，在几乎所有的法向量u下，所有曲率半径要么都等于1，要么至少有一个曲率半径等于0。
   • 证明了定理1.2：具有恒定宽度1的典型凸体K，在几乎所有的边界点x处，所有曲率半径都等于1。
   • 讨论了这些结果与一般凸体的曲率行为的对比。
6. 结论：总结了论文的主要发现，即具有恒定宽度的凸体在大多数边界点上的曲率半径表现出特定的行为，这与一般凸体的曲率行为有显著不同。

研究方法

这篇论文通过深入研究和分析凸体的几何特性，特别是常宽凸体的曲率行为，来探讨凸体的典型性质。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 凸体的几何特性分析：
   • 利用巴拿赫分类定理来定义和分析凸体的典型性质。
   • 研究凸体的支撑函数和豪斯多夫测度，以确定凸体边界点的曲率行为。
   • 引入切线曲率半径的概念，为凸体的曲率提供一个与支撑函数线性相关的度量。
2. 凸体的常宽性质研究：
   • 探讨常宽凸体的闵可夫斯基和性质，以及它如何影响凸体的曲率。
   • 分析常宽凸体的曲率指示器，以及它如何反映凸体的局部几何形状。
   • 证明凸体的常宽性质在高维空间中的推广，以及它对凸体曲率的影响。
3. 数学证明与理论推导：
   • 通过构造和证明一系列数学定理，如Theorem 1.1和Theorem 1.2，来确立凸体曲率行为的一般规律。
   • 使用极限和收敛的概念来精确描述凸体边界点的曲率特性。
   • 利用正交投影和线性逼近技术来简化和解决高维凸体的曲率问题。
4. 几何构造与逼近方法：
   • 构造特殊的凸体，如Reuleaux多边形和它们的高维类比，来逼近一般的常宽凸体。
   • 利用逼近技术来证明凸体的某些性质在常宽凸体中是普遍存在的。
   • 通过构造和分析逼近凸体的序列，来证明凸体的曲率在几乎所有边界点上的行为。
5. 理论的综合与应用：
   • 将凸体的几何特性、常宽性质和数学证明结合起来，得出凸体曲率行为的完整图像。
   • 讨论凸体曲率特性在实际应用中的意义，如在优化和几何设计中的作用。

这篇论文的方法论分析结果表明，常宽凸体的曲率行为在几乎所有边界点上呈现出非常规则的特性，这为理解凸体的几何性质提供了深刻的洞见。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 常宽凸体的典型曲率行为：在常宽凸体中，几乎所有的边界点的曲率表现出一种简单但高度非直观的行为：几乎所有的边界点在测度意义上所有曲率都为零，但同时也存在一个密集且不可数的边界点集，其中所有曲率都是无穷大。
2. 常宽凸体的曲率特性：对于一个典型的n维常宽凸体，几乎所有的边界点在测度意义上所有曲率都等于1。
3. 常宽凸体的曲率与球体的比较：值得注意的是，宽度为1的球体半径为1/2，因此其所有曲率都等于2，这与常宽凸体的曲率特性形成对比。
4. 常宽凸体的线性性质：由于常宽性质相对于Minkowski加法是线性的，证明需要依赖线性曲率概念，这由曲率的切向半径提供。
5. 典型凸体的凸性和光滑性：一个典型的凸体在Baire类别意义上是严格凸的和光滑的（其边界是C1），几乎所有的边界点的曲率都为零。
6. 常宽凸体的边界点特性：一个典型的常宽凸体的边界点中，几乎所有的点的曲率都等于1，同时存在一个不可数、密集的边界点集，其中所有曲率都为零。
7. 常宽凸体的高维推广：论文将二维平面上常宽凸体的曲率特性推广到更高维度，证明了在更高维度中，常宽凸体的曲率表现出类似的规律。
8. 常宽凸体的近似定理：论文提出了一个关于常宽凸体的近似定理，这对于证明主要结果至关重要。
9. 常宽凸体的Baire类别结果：论文证明了一个Baire类别结果，表明在常宽凸体空间中，具有特定曲率特性的凸体集合是稠密的。

这些结论为理解常宽凸体的曲率特性提供了深入的数学分析，并揭示了这类凸体在高维空间中的一些基本性质。