WikiEdge:ArXiv-1412.8693

• 标题：The asymmetry of complete and constant width bodies in general normed spaces and the Jung constant
• 中文标题：一般规范空间中完全体和常宽体的不对称性以及Jung常数
• 发布日期：2014-12-30 17:17:39+00:00
• 作者：René Brandenberg, Bernardo González Merino
• 分类：math.MG
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1412.8693v3

摘要：在本文中，我们阐述了在任意闵可夫斯基空间中，体的外接半径与直径的最大比率（Jung常数）与该空间中完全体的最大闵可夫斯基不对称性之间的一一对应关系。这使得我们能够推广和统一有关完全体的最新结果，并得出一个必要条件，即在假设给定体为完全体的情况下，对空间的单位球的条件。最后，我们给出了几个推论，即关于Helly维数或Banach-Mazur距离的问题。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何在任意的 Minkowski 空间中建立一个身体（body）的直径和外接圆半径比率（即 Jung 常数）与该空间内完全体（complete bodies）的最大 Minkowski 不对称性之间的一一对应关系？
• 如何推广和统一有关完全体和常宽体（constant width bodies）的最新结果？
• 如何导出给定体为完全体时，对空间的单位球的必要条件？
• 如何通过研究 Minkowski 不对称性和 Jung 常数来揭示与 Minkowski 空间中几何不等式相关的新见解？
• 如何利用 Minkowski 不对称性来改进几何不等式，并将这些不等式与对称集的版本相联系？
• 如何通过研究 Minkowski 空间中的完全性和常宽性，来探索凸体（convex bodies）的几何特性？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. Minkowski空间中几何体的对称性和不对称性：
   • 在Minkowski空间中，研究几何体的对称性和不对称性对于理解空间的性质至关重要。
   • 几何体的对称性和不对称性可以通过多种方式来衡量，例如Minkowski不对称性和Jung常数。
   • 该研究探讨了在任意Minkowski空间中，几何体的Jung常数与其Minkowski不对称性之间的一一对应关系。
2. 几何体的完全性和常宽性：
   • 在欧几里得空间和平面Minkowski空间中，完全集正是常宽集，但在一般的Minkowski空间中，并非所有常宽集都是完全的。
   • 完全集和常宽集在凸几何中是重要的研究对象，它们的性质对于理解空间的几何结构具有重要意义。
3. Jung常数和Minkowski不对称性的联系：
   • Jung常数是衡量在给定空间中，几何体的外接半径与直径比的最大值。
   • 文献中提出了Jung常数与Minkowski空间中完全体的Maximal Minkowski不对称性之间的一一对应关系。
4. 几何不等式和凸体的半径：
   • 研究凸体的外接半径、直径等基本半径之间的几何不等式是凸几何研究的核心领域之一。
   • 文献中探讨了Jung不等式和Minkowski不对称性在不同Minkowski空间中的推广和改进。

综上所述，这篇文献的背景强调了在Minkowski空间中，几何体的对称性和不对称性度量，以及这些度量如何与几何体的完全性和常宽性相关联，进而揭示了Jung常数和Minkowski不对称性之间的深刻联系。

章节摘要

这篇论文是关于在一般范数空间中完全体和恒定宽度体的不对称性以及Jung常数的研究，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言：介绍了在Minkowski空间中完全集（不能增大而不增加其直径的有界集）的概念，并讨论了在欧几里得空间和平面Minkowski空间中完全集与恒宽集的关系。同时，引入了Minkowski不对称性的概念，并讨论了其在几何不等式中的应用。
2. 伪完全性和完全性：
   • 讨论了伪完全集和完全集的性质，以及它们与Minkowski空间中单位球的关系。
   • 提出了一些关于完全集和伪完全集的几何不等式，并证明了这些不等式。
   • 引入了Scott完全的概念，并讨论了其存在性。
3. Jung常数与Minkowski不对称性：
   • 建立了Jung常数（表示体的外接半径与直径的最大比率）与Minkowski空间中完全体的Minkowski不对称性之间的一一对应关系。
   • 提出了一个定理，描述了Jung常数与Minkowski不对称性之间的关系，并讨论了其在不同Minkowski空间中的推广。
   • 讨论了Jung常数在几何不等式中的应用，以及如何利用Minkowski不对称性来改进这些不等式。
4. Helly维数与Banach-Mazur距离：
   • 引入了Helly维数的概念，并讨论了其与Minkowski空间中完全集的关系。
   • 讨论了Banach-Mazur距离，并提出了一个定理，描述了Minkowski空间中完全集的Banach-Mazur距离与其Jung常数之间的关系。
   • 提出了一些关于Helly维数和Banach-Mazur距离的不等式，并讨论了其在不同Minkowski空间中的推广。
5. 结论：总结了论文的主要发现，包括Jung常数与Minkowski不对称性之间的关系，以及这些发现在几何不等式和Helly维数中的应用。

研究方法

这篇论文通过数学分析和几何论证，探讨了在一般范数空间中完全体和恒定宽度体的不对称性以及Jung常数。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 数学分析：
   • 利用范数空间和凸体的数学定义，定义了完全体和恒定宽度体的概念。
   • 通过不等式和优化方法，推导了Jung常数与体的直径和外接半径之间的关系。
   • 使用线性规划方法计算多面体的Minkowski不对称性。
2. 几何论证：
   • 通过几何不等式和凸体的几何属性，探索了完全体的外接半径和直径的比例。
   • 利用凸体的支撑函数和宽度，分析了恒定宽度体的特性。
   • 通过几何构造和证明，研究了完全体和恒定宽度体之间的关系。
3. 理论推导：
   • 通过引入Jung常数的概念，建立了完全体的最大不对称性和Jung常数之间的一一对应关系。
   • 利用Minkowski空间的几何特性，推导了完全体的外接半径和直径的比率的上界。
   • 通过数学归纳法和反证法，证明了若干几何不等式和对称性条件。
4. 应用实例：
   • 通过具体的例子，如正则n-简单形和Reuleaux体，展示了理论结果的应用。
   • 利用特定的几何构造，如Scott补全和伪补全，说明了理论在实际几何问题中的应用。
   • 通过计算和比较不同几何体的Jung常数和不对称性，验证了理论的普适性和有效性。

这篇论文的方法论分析结果表明，Jung常数和Minkowski不对称性为理解和量化范数空间中几何体的几何特性提供了有力的工具。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. Jung常数与Minkowski不对称性的关系：在任意Minkowski空间中，一个物体的外接半径与直径之比（Jung常数）与该空间内完全体的最大Minkowski不对称性存在一一对应关系。
2. 完全体与常宽体的不对称性：论文提出了一个必要条件，用于确定在给定的Minkowski空间中，一个给定的体是否是完全的。
3. Helly维数与Banach-Mazur距离：论文陈述了几个推论，例如与Helly维数或Banach-Mazur距离相关的结果。
4. Jung常数的界定：论文证明了Jung常数可以被界定，并且这个界定与Minkowski空间的单位球有关。
5. 完全体与伪完全体的联系：论文探讨了完全体和伪完全体之间的关系，并提供了关于它们几何特性的深入分析。
6. Minkowski空间的Helly维数：论文展示了如何利用Helly维数来界定Minkowski空间中的某些几何特性。
7. Banach-Mazur距离的计算：论文提供了计算Banach-Mazur距离的新方法，并且展示了这个距离如何与Minkowski不对称性相关联。
8. Minkowski空间中体的分类：论文对Minkowski空间中的体进行了分类，特别是完全体和常宽体，并探讨了它们的几何特性。
9. Jung常数的计算：论文提供了计算Jung常数的方法，并且展示了这个常数如何依赖于Minkowski空间的几何特性。
10. Minkowski空间的几何不等式：论文探讨了Minkowski空间中几何不等式的研究，特别是与外接半径和直径比率相关的不等式。
11. Minkowski空间的完美范数：论文讨论了在哪些条件下Minkowski空间的范数是完美的，并且提供了完美范数空间的几何特性。

这些结论为理解Minkowski空间中的几何特性提供了重要的理论基础，并且指出了在这些空间中完全体和常宽体的几何特性如何相互关联。