WikiEdge:ArXiv-1511.04165

• 标题：Self-dual Wulff shapes and spherical convex bodies of constant width $π/{2}$
• 中文标题：自对偶Wulff形状和常宽度为π/2的球形凸体
• 发布日期：2015-11-13 06:01:20+00:00
• 作者：Huhe Han, Takashi Nishimura
• 分类：math.MG, 52A55
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1511.04165v2

摘要：对于任何Wulff形状，其对偶Wulff形状可以自然定义。自对偶Wulff形状是等于其对偶Wulff形状的Wulff形状。在本文中，我们证明了一个Wulff形状是自对偶的当且仅当由它引发的球形凸体的宽度是常数${\pi}/{2}$。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何定义和识别自对偶 Wulff 形状？
• 自对偶 Wulff 形状与其诱导的球面凸体的常宽性质之间有何关系？
• 如何证明 Wulff 形状是自对偶的当且仅当其诱导的球面凸体具有常宽 π/2？
• 如何通过简单、明确的例子来进一步探讨自对偶 Wulff 形状？
• 在何种条件下，Wulff 形状的对偶形状与原形状仅是全等的？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. Wulff形状的自对偶性质：
   • Wulff形状是描述晶体在平衡状态下几何模型的重要概念，由G. Wulff首次引入。
   • 自对偶Wulff形状是指与其对偶形状完全相同的Wulff形状，这种形状在几何学和晶体学中具有特别的意义。
2. 球面凸体的常宽性质：
   • 球面凸体是定义在高维球面上的几何形状，常宽性质是描述球面凸体的一种重要特征。
   • 常宽为π/2的球面凸体与自对偶Wulff形状之间的关系是本文研究的核心。
3. 数学和物理中的Wulff形状应用：
   • Wulff形状在数学的凸体理论和物理学的晶体生长模型中都有广泛的应用。
   • 理解Wulff形状的自对偶性质有助于深入研究晶体的几何特性和物理性质。
4. 数学证明和定理的应用：
   • 文献中使用了多个数学定理和证明来探索和证明Wulff形状的自对偶性质。
   • 这些数学工具的应用为理解Wulff形状提供了坚实的理论基础。

综上所述，这篇文献的背景强调了Wulff形状的自对偶性质及其与球面凸体常宽性质之间的关系，以及这些性质在数学和物理学中的应用价值。

章节摘要

这篇论文是关于自对偶Wulff形状和常宽球面凸体的研究，主要内容可以概括如下：

1. 自对偶Wulff形状和常宽球面凸体
   1. 引言

• 介绍了Wulff形状的概念，以及它在晶体平衡状态下的几何模型应用。
• 定义了Wulff形状与其对偶形状，并提出了自对偶Wulff形状的概念。

1. 1. 预备知识

• 定义了球面凸体、半球体支撑、球面凸包等概念。
• 提出了球面凸体的宽度定义，并给出了宽度的计算方法。
• 介绍了球面凸体直径的概念。

1. 1. 主要定理的证明

• 证明了Wulff形状是自对偶的当且仅当其诱导的球面凸体具有常宽π/2。
• 通过构造和分析球面凸体的支撑半球体，证明了定理。

1. 1. 更多简单明确的例子

• 讨论了中心对称的自对偶Wulff形状，证明了只有单位圆盘是中心对称的自对偶Wulff形状。
• 探讨了多面体类型的Wulff形状，证明了如果Wulff形状是多面体类型的，则它是自对偶的当且仅当其诱导的球面凸体的每个支撑点都是顶点。
• 提出了一个开放性问题：在什么条件下，对偶Wulff形状与原Wulff形状仅仅是全等的。