WikiEdge:ArXiv-1511.04165

• 标题：Self-dual Wulff shapes and spherical convex bodies of constant width $π/{2}$
• 中文标题：自对偶Wulff形状和常宽度为π/2的球形凸体
• 发布日期：2015-11-13 06:01:20+00:00
• 作者：Huhe Han, Takashi Nishimura
• 分类：math.MG, 52A55
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1511.04165v2

摘要：对于任何Wulff形状，其对偶Wulff形状可以自然定义。自对偶Wulff形状是等于其对偶Wulff形状的Wulff形状。在本文中，我们证明了一个Wulff形状是自对偶的当且仅当由它引发的球形凸体的宽度是常数${\pi}/{2}$。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何定义和识别自对偶 Wulff 形状？
• 自对偶 Wulff 形状与其诱导的球面凸体的常宽性质之间有何关系？
• 如何证明 Wulff 形状是自对偶的当且仅当其诱导的球面凸体具有常宽 π/2？
• 如何通过简单、明确的例子来进一步探讨自对偶 Wulff 形状？
• 在何种条件下，Wulff 形状的对偶形状与原形状仅是全等的？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. Wulff形状的自对偶性质：
   • Wulff形状是描述晶体在平衡状态下几何模型的重要概念，由G. Wulff首次引入。
   • 自对偶Wulff形状是指与其对偶形状完全相同的Wulff形状，这种形状在几何学和晶体学中具有特别的意义。
2. 球面凸体的常宽性质：
   • 球面凸体是定义在高维球面上的几何形状，常宽性质是描述球面凸体的一种重要特征。
   • 常宽为π/2的球面凸体与自对偶Wulff形状之间的关系是本文研究的核心。
3. 数学和物理中的Wulff形状应用：
   • Wulff形状在数学的凸体理论和物理学的晶体生长模型中都有广泛的应用。
   • 理解Wulff形状的自对偶性质有助于深入研究晶体的几何特性和物理性质。
4. 数学证明和定理的应用：
   • 文献中使用了多个数学定理和证明来探索和证明Wulff形状的自对偶性质。
   • 这些数学工具的应用为理解Wulff形状提供了坚实的理论基础。

综上所述，这篇文献的背景强调了Wulff形状的自对偶性质及其与球面凸体常宽性质之间的关系，以及这些性质在数学和物理学中的应用价值。

章节摘要

这篇论文是关于自对偶Wulff形状和常宽球面凸体的研究，主要内容可以概括如下：

1. 自对偶Wulff形状和常宽球面凸体
   1. 引言

• 介绍了Wulff形状的概念，以及它在晶体平衡状态下的几何模型应用。
• 定义了Wulff形状与其对偶形状，并提出了自对偶Wulff形状的概念。

1. 1. 预备知识

• 定义了球面凸体、半球体支撑、球面凸包等概念。
• 提出了球面凸体的宽度定义，并给出了宽度的计算方法。
• 介绍了球面凸体直径的概念。

1. 1. 主要定理的证明

• 证明了Wulff形状是自对偶的当且仅当其诱导的球面凸体具有常宽π/2。
• 通过构造和分析球面凸体的支撑半球体，证明了定理。

1. 1. 更多简单明确的例子

• 讨论了中心对称的自对偶Wulff形状，证明了只有单位圆盘是中心对称的自对偶Wulff形状。
• 探讨了多面体类型的Wulff形状，证明了如果Wulff形状是多面体类型的，则它是自对偶的当且仅当其诱导的球面凸体的每个支撑点都是顶点。
• 提出了一个开放性问题：在什么条件下，对偶Wulff形状与原Wulff形状仅仅是全等的。

研究方法

这篇论文通过数学建模和几何分析，探讨了自对偶Wulff形状和常宽球面凸体的性质。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 数学建模：
   • 定义了Wulff形状和其对偶形状的数学表达式，使用支持函数γ(θ)来描述Wulff形状。
   • 引入了球面凸体的概念，并定义了球面凸体的宽度、直径等几何属性。
   • 利用极坐标表达式来识别Rn+1中的元素，从而将Sn × R+与Rn+1 − {0}自然地联系起来。
2. 几何分析：
   • 通过几何构造和定理证明，展示了Wulff形状与其诱导的球面凸体之间的关系。
   • 利用球面几何的性质，如球面凸体的支撑和球面多边形的宽度，来分析Wulff形状的自对偶性质。
   • 通过反演和凸包的概念，探讨了Wulff形状的对偶性质。
3. 定理证明：
   • 证明了Wulff形状是自对偶的当且仅当其诱导的球面凸体具有常宽π/2。
   • 利用支撑球面和球面凸体的宽度定义，证明了球面凸体的直径与宽度之间的关系。
   • 通过构造具体的例子，如单位圆盘和旋转体，来验证定理的正确性。
4. 具体例子与应用：
   • 讨论了自对偶Wulff形状在晶体学中的应用，如晶体生长模型。
   • 通过构造和分析具体的例子，如单位圆盘和球面三角形，来展示自对偶Wulff形状的性质。
   • 探讨了在不同维度下Wulff形状的自对偶性质，以及这些性质如何影响晶体的形状和结构。

这篇论文的方法论分析结果表明，Wulff形状的自对偶性质与其诱导的球面凸体的几何属性紧密相关，为理解晶体生长和形态提供了重要的数学工具。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 自对偶 Wulff 形状与常宽球面凸体：证明了一个 Wulff 形状 是自对偶的当且仅当由它诱导的球面凸体具有常宽 \(\pi/2\)。
   1. 自对偶 Wulff 形状的定义：一个自对偶 Wulff 形状是与其对偶 Wulff 形状完全相等的 Wulff 形状。
   2. 球面凸体的常宽定义：如果对于任意支持 \(\mathcal{W}\) 的半球 \(H(P)\)，\(\mathcal{W}\) 的宽度 \(width_{H(P)}(\mathcal{W})\) 都等于 \(\rho\)，则称球面凸体 \(\mathcal{W}\) 具有常宽 \(\rho\)。
      1. 定理 1 的表述：连续函数 \(\gamma: S^n \to R^+\) 定义的 Wulff 形状 \(W_\gamma\) 是自对偶的当且仅当由 \(W_\gamma\) 诱导的球面凸体具有常宽 \(\pi/2\)。
2. 简单显式例子的进一步考虑：提供了简单显式例子来说明自对偶 Wulff 形状，包括中心投影的球面帽和三角形。
   1. 中心对称自对偶 Wulff 形状：确定了中心对称的自对偶 Wulff 形状，指出如果一个自对偶 Wulff 形状是中心对称的，则它必须是单位圆盘 \(D^{n+1}\)。
      1. 定理 3 的应用：利用定理 3 证明了如果一个自对偶 Wulff 形状不是单位圆盘，则它不能是中心对称的。
   2. 多面体类型的自对偶 Wulff 形状：讨论了多面体类型的 Wulff 形状，指出如果一个 Wulff 形状是由有限个点 \(P_1, \ldots, P_k \in S^{n+1}\) 定义的，则它是自对偶的当且仅当这些点是诱导的球面凸体的顶点。
      1. Maehara 引理的应用：使用 Maehara 引理来证明多面体类型的自对偶 Wulff 形状的性质。
      2. 问题的提出：提出了一个更一般的问题，即在什么条件下，对偶 Wulff 形状与原始 Wulff 形状仅仅是全等的。
      3. 例子 1：给出了一个例子，说明在什么条件下，一个正 \(2m\) 边形与其对偶 Wulff 形状不全等但全等。

这些结论为理解 Wulff 形状的自对偶性质以及它们与球面凸体常宽之间的关系提供了重要的理论基础。