WikiEdge:ArXiv-1608.06354：修订间差异

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2024年9月28日 (六) 10:52的版本

标题：Meissner Polyhedra
中文标题：迈斯纳多面体
发布日期：2016-08-23 01:29:42+00:00
作者：Luis Montejano, Edgardo Roldán-Pensado
分类：math.MG
原文链接：http://arxiv.org/abs/1608.06354v2

摘要：在本文中，我们提出了一种具体的方法来构造三维常宽体。它们是由自对偶图的特殊嵌入构造的。

问题与动机

作者的研究问题与动机包括：

如何在三维空间中构造具有恒定宽度的立体？
已知二维空间中存在多种构造恒定宽度曲线的方法，但高维类比的构造方法尚不明确，作者试图填补这一空白。
探索三维空间中是否存在具体的、有限的构造过程来生成具有恒定宽度的立体。
研究特殊的自对偶图嵌入如何用于构造三维恒定宽度立体。
探讨三维空间中Reuleaux多面体的性质，以及如何通过修改这些多面体的边来构造具有恒定宽度的立体。
验证通过修改Reuleaux多面体的边所得到的立体是否确实具有恒定的宽度。
研究Meissner立体的性质，以及它们在三维空间中恒定宽度立体中的位置。
探索三维恒定宽度立体的几何特性，以及它们在离散几何问题中的应用。
研究三维Reuleaux多面体的自对偶图的性质，以及如何通过这些图的嵌入来构造Meissner立体。
探索三维恒定宽度立体的体积最小化问题，以及Meissner立体在解决Blaschke-Lebesgue问题中的潜力。

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

常宽体和其性质的历史回顾：
- 常宽体和其性质已经被研究了数个世纪。莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在研究中将它们称作“orbiforms”，并对常宽曲线进行了研究，这些曲线的边界可以表示为一个内摆线的渐开线。
- 约一百年后，即1875年，弗朗茨·吕洛（Franz Reuleaux）在他的运动学书籍中提到了常宽曲线，并给出了一些例子。他还给出了一种可能是最简单的非圆形常宽曲线的构造方法，这种曲线现在以他的名字命名。
- 尽管我们知道许多构造常宽曲线的方法，但对于它们的高维类比来说，情况并非如此。
高维常宽体的构造方法：
- 根据帕尔定理（Pál's theorem），我们知道在\( \mathbb{R}^n \)中直径为1的任何子集都包含在一个常宽体中。
- Sallee和Lachand与Outdet等人给出了非构造性的方法来找到它们，但除了两个Meissner实体和明显的旋转体常宽体外，在文献中没有具体的常宽体的例子，也没有具体的有限程序来构造一个大于2维的常宽体。
球面多面体的研究：
- 本文的主要目标是研究有限多个全等球体相交的几何特性。球面多面体是离散几何中几个重要问题的研究对象，例如Grübaum-Heppes-Straszewicz定理关于\( \mathbb{R}^3 \)中有限点集直径的最大数量，Kneser-Poulsen猜想，有限点集的Borsuk猜想的证明，以及三角化球面多面体的Cauchy刚性定理的类比。
- 球面多面体的边界点可以是奇异的或规则的，奇异点又可以细分为0-奇异点和1-奇异点。
- 球面多面体的面定义为\( S(x, h) \cap \Phi \)，其中\( x \in X \)。
- 一个三维球面多面体\( \Phi \)是标准的，如果任意两个面的交集要么是空的，要么是\( G_\Phi \)的一个顶点或一条边。
- 一个三维球面多面体的图\( G_\Phi \)是简单、平面和3-连通的，并且满足欧拉-泊松公式\( v - e + f = 2 \)。
Reuleaux多面体的定义和性质：
- Reuleaux多面体定义为满足特定性质的凸体，例如存在一个集合\( X \subset \mathbb{R}^n \)使得\( \Phi = \bigcap_{x \in X} B(x, h) \)，\( \Phi \)是一个标准球面多面体，且\( \Phi \)边界的0-奇异点集合\( V(\Phi) \)是\( X \)。
- 在二维中，Reuleaux多面体正是Reuleaux多边形，而在更高维度中，Reuleaux多面体不是常宽体。
- 三维Reuleaux多面体将是构造三维常宽体的关键。
- 一个重要的性质是，对于\( X \)中的每一对点\( x, y \)，距离\( d(x, y) \leq h \)且当且仅当\( x \)在\( y \)的对偶面中时，\( d(x, y) = h \)。

综上所述，这篇文献的背景强调了常宽体的历史研究、高维常宽体的构造方法、球面多面体的几何特性，以及Reuleaux多面体的定义和性质，为进一步研究三维常宽体提供了理论基础和构造方法。

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 * 研究三维Reuleaux多面体的自对偶图的性质，以及如何通过这些图的嵌入来构造Meissner立体。
 * 探索三维恒定宽度立体的体积最小化问题，以及Meissner立体在解决[[Blaschke-Lebesgue问题]]中的潜力。
+== 背景介绍 ==
+这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
+# '''常宽体和其性质的历史回顾'''：
+#* [[常宽体]]和其性质已经被研究了数个世纪。[[莱昂哈德·欧拉]]（Leonhard Euler）在研究中将它们称作“orbiforms”，并对常宽曲线进行了研究，这些曲线的边界可以表示为一个内摆线的渐开线。
+#* 约一百年后，即1875年，[[弗朗茨·吕洛]]（Franz Reuleaux）在他的运动学书籍中提到了常宽曲线，并给出了一些例子。他还给出了一种可能是最简单的非圆形常宽曲线的构造方法，这种曲线现在以他的名字命名。
+#* 尽管我们知道许多构造常宽曲线的方法，但对于它们的高维类比来说，情况并非如此。
+# '''高维常宽体的构造方法'''：
+#* 根据[[帕尔定理]]（Pál's theorem），我们知道在\( \mathbb{R}^n \)中直径为1的任何子集都包含在一个常宽体中。
+#* [[Sallee]]和[[Lachand]]与[[Outdet]]等人给出了非构造性的方法来找到它们，但除了两个[[Meissner]]实体和明显的旋转体常宽体外，在文献中没有具体的常宽体的例子，也没有具体的有限程序来构造一个大于2维的常宽体。
+# '''球面多面体的研究'''：
+#* 本文的主要目标是研究有限多个全等球体相交的几何特性。球面多面体是离散几何中几个重要问题的研究对象，例如[[Grübaum-Heppes-Straszewicz定理]]关于\( \mathbb{R}^3 \)中有限点集直径的最大数量，[[Kneser-Poulsen猜想]]，有限点集的[[Borsuk猜想]]的证明，以及三角化球面多面体的Cauchy刚性定理的类比。
+#* 球面多面体的边界点可以是奇异的或规则的，奇异点又可以细分为0-奇异点和1-奇异点。
+#* 球面多面体的面定义为\( S(x, h) \cap \Phi \)，其中\( x \in X \)。
+#* 一个三维球面多面体\( \Phi \)是标准的，如果任意两个面的交集要么是空的，要么是\( G_\Phi \)的一个顶点或一条边。
+#* 一个三维球面多面体的图\( G_\Phi \)是简单、平面和3-连通的，并且满足欧拉-泊松公式\( v - e + f = 2 \)。
+# '''Reuleaux多面体的定义和性质'''：
+#* Reuleaux多面体定义为满足特定性质的凸体，例如存在一个集合\( X \subset \mathbb{R}^n \)使得\( \Phi = \bigcap_{x \in X} B(x, h) \)，\( \Phi \)是一个标准球面多面体，且\( \Phi \)边界的0-奇异点集合\( V(\Phi) \)是\( X \)。
+#* 在二维中，Reuleaux多面体正是Reuleaux多边形，而在更高维度中，Reuleaux多面体不是常宽体。
+#* 三维Reuleaux多面体将是构造三维常宽体的关键。
+#* 一个重要的性质是，对于\( X \)中的每一对点\( x, y \)，距离\( d(x, y) \leq h \)且当且仅当\( x \)在\( y \)的对偶面中时，\( d(x, y) = h \)。
+综上所述，这篇文献的背景强调了[[常宽体]]的历史研究、高维常宽体的构造方法、[[球面多面体]]的几何特性，以及[[Reuleaux多面体]]的定义和性质，为进一步研究三维常宽体提供了理论基础和构造方法。

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