WikiEdge:ArXiv-1608.06354

• 标题：Meissner Polyhedra
• 中文标题：迈斯纳多面体
• 发布日期：2016-08-23 01:29:42+00:00
• 作者：Luis Montejano, Edgardo Roldán-Pensado
• 分类：math.MG
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1608.06354v2

摘要：在本文中，我们提出了一种具体的方法来构造三维常宽体。它们是由自对偶图的特殊嵌入构造的。

问题与动机

作者的研究问题与动机包括：

• 如何在三维空间中构造具有恒定宽度的立体？
• 已知二维空间中存在多种构造恒定宽度曲线的方法，但高维类比的构造方法尚不明确，作者试图填补这一空白。
• 探索三维空间中是否存在具体的、有限的构造过程来生成具有恒定宽度的立体。
• 研究特殊的自对偶图嵌入如何用于构造三维恒定宽度立体。
• 探讨三维空间中Reuleaux多面体的性质，以及如何通过修改这些多面体的边来构造具有恒定宽度的立体。
• 验证通过修改Reuleaux多面体的边所得到的立体是否确实具有恒定的宽度。
• 研究Meissner立体的性质，以及它们在三维空间中恒定宽度立体中的位置。
• 探索三维恒定宽度立体的几何特性，以及它们在离散几何问题中的应用。
• 研究三维Reuleaux多面体的自对偶图的性质，以及如何通过这些图的嵌入来构造Meissner立体。
• 探索三维恒定宽度立体的体积最小化问题，以及Meissner立体在解决Blaschke-Lebesgue问题中的潜力。

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体和其性质的历史回顾：
   • 常宽体和其性质已经被研究了数个世纪。莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在研究中将它们称作“orbiforms”，并对常宽曲线进行了研究，这些曲线的边界可以表示为一个内摆线的渐开线。
   • 约一百年后，即1875年，弗朗茨·吕洛（Franz Reuleaux）在他的运动学书籍中提到了常宽曲线，并给出了一些例子。他还给出了一种可能是最简单的非圆形常宽曲线的构造方法，这种曲线现在以他的名字命名。
   • 尽管我们知道许多构造常宽曲线的方法，但对于它们的高维类比来说，情况并非如此。
2. 高维常宽体的构造方法：
   • 根据帕尔定理（Pál's theorem），我们知道在\( \mathbb{R}^n \)中直径为1的任何子集都包含在一个常宽体中。
   • Sallee和Lachand与Outdet等人给出了非构造性的方法来找到它们，但除了两个Meissner实体和明显的旋转体常宽体外，在文献中没有具体的常宽体的例子，也没有具体的有限程序来构造一个大于2维的常宽体。
3. 球面多面体的研究：
   • 本文的主要目标是研究有限多个全等球体相交的几何特性。球面多面体是离散几何中几个重要问题的研究对象，例如Grübaum-Heppes-Straszewicz定理关于\( \mathbb{R}^3 \)中有限点集直径的最大数量，Kneser-Poulsen猜想，有限点集的Borsuk猜想的证明，以及三角化球面多面体的Cauchy刚性定理的类比。
   • 球面多面体的边界点可以是奇异的或规则的，奇异点又可以细分为0-奇异点和1-奇异点。
   • 球面多面体的面定义为\( S(x, h) \cap \Phi \)，其中\( x \in X \)。
   • 一个三维球面多面体\( \Phi \)是标准的，如果任意两个面的交集要么是空的，要么是\( G_\Phi \)的一个顶点或一条边。
   • 一个三维球面多面体的图\( G_\Phi \)是简单、平面和3-连通的，并且满足欧拉-泊松公式\( v - e + f = 2 \)。
4. Reuleaux多面体的定义和性质：
   • Reuleaux多面体定义为满足特定性质的凸体，例如存在一个集合\( X \subset \mathbb{R}^n \)使得\( \Phi = \bigcap_{x \in X} B(x, h) \)，\( \Phi \)是一个标准球面多面体，且\( \Phi \)边界的0-奇异点集合\( V(\Phi) \)是\( X \)。
   • 在二维中，Reuleaux多面体正是Reuleaux多边形，而在更高维度中，Reuleaux多面体不是常宽体。
   • 三维Reuleaux多面体将是构造三维常宽体的关键。
   • 一个重要的性质是，对于\( X \)中的每一对点\( x, y \)，距离\( d(x, y) \leq h \)且当且仅当\( x \)在\( y \)的对偶面中时，\( d(x, y) = h \)。

综上所述，这篇文献的背景强调了常宽体的历史研究、高维常宽体的构造方法、球面多面体的几何特性，以及Reuleaux多面体的定义和性质，为进一步研究三维常宽体提供了理论基础和构造方法。

章节摘要

这篇论文是关于三维空间中恒宽体的构造方法的研究，主要内容包括：

1. 引言和预备知识
   1. 介绍了恒宽体的概念，历史上L. Euler和Franz Reuleaux对恒宽体的研究。
   2. 讨论了恒宽体在不同维度的构造方法，以及文献中缺乏具体的构造例子。
   3. 提出了本文的目标：构造三维恒宽体的具体例子。

1. 球面多面体
   1. 研究了有限多个全等球体相交的几何特性。
   2. 定义了球面多面体，并讨论了其边界点的分类。
   3. 提出了标准球面多面体的概念，并证明了其图是简单、平面和3-连通的。

1. Reuleaux多面体
   1. 定义了Reuleaux多面体，并讨论了其性质。
   2. 证明了Reuleaux多面体的图是自对偶图，并讨论了其嵌入性质。

1. Meissner多面体
   1. 描述了通过在Reuleaux多面体的自对偶图的每对对偶边上进行“手术”来构造Meissner多面体的过程。
   2. 提出了Meissner多面体的定义，并证明了通过上述手术得到的表面是恒宽体的边界。

1. 从Reuleaux多边形构造恒宽体
   1. 描述了从二维Reuleaux多边形构造三维恒宽体的具体步骤。
   2. 使用Voronoi图和Delaunay三角剖分来构造Meissner多面体。

1. 致谢
   1. 感谢CONACYT项目166306和PAPIITT-UNAM项目IN112614对本研究的支持。

研究方法

这篇论文通过构造特殊的自对偶图嵌入，开发了一种具体的方法来构造三维的恒宽体。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 自对偶图嵌入：
   • 利用自对偶图的特殊嵌入来构造三维恒宽体。
   • 通过嵌入的自对偶图的顶点和边来定义恒宽体的边界。
   • 引入自对偶图的对偶面的概念，用于构造恒宽体的表面。
2. 球面多面体研究：
   • 研究了有限多个全等球体的交集的几何特性，即球面多面体。
   • 探讨了球面多面体的边界点的分类，包括奇异点和规则点。
   • 描述了球面多面体边界的图嵌入结构，包括顶点、边和面。
3. 三维恒宽体构造：
   • 通过在自对偶图的每对对偶边上执行“手术”来构造三维恒宽体。
   • 证明了通过这种构造方法得到的表面是恒宽体的边界。
   • 利用了Pál定理来证明恒宽体的存在性。
4. Reuleaux多面体定义：
   • 定义了Reuleaux多面体作为满足特定条件的凸体。
   • 描述了Reuleaux多面体的自对偶图属性。
   • 证明了Reuleaux多面体的自对偶图是简单、平面和3-连通的。
5. Meissner多面体构造：
   • 将Meissner多面体定义为通过在Reuleaux多面体的自对偶图的每对对偶边上执行“手术”得到的恒宽体。
   • 描述了Meissner多面体的构造过程，包括替换边界上的弧段。
   • 证明了Meissner多面体的表面是恒宽体的边界。
6. 从Reuleaux多边形构造恒宽体：
   • 利用Reuleaux多边形的Voronoi图和Delaunay三角剖分来构造三维恒宽体。
   • 描述了从Reuleaux多边形到三维恒宽体的构造过程，包括确定恒宽体的底部。
   • 证明了通过这种构造方法得到的三维体是Meissner多面体。

这篇论文的方法论分析结果表明，通过自对偶图的特殊嵌入和对Reuleaux多面体进行“手术”，可以构造出三维的恒宽体，这为理解和设计具有特定几何特性的三维结构提供了一种新的方法。