WikiEdge:ArXiv-1801.01161

• 标题：Spherical bodies of constant width
• 中文标题：常宽度的球形体
• 发布日期：2018-01-03 20:44:24+00:00
• 作者：Marek Lassak, Michał Musielak
• 分类：math.MG, 52A55
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1801.01161v1

摘要：一个 $d$ 维球体 $S^d$ 的两个不同且非对立的半球 $G$ 和 $H$ 的交集 $L$ 被称为弓形。我们将 $L$ 的厚度定义为界定 $L$ 的 $(d-1)$ 维半球的中心的距离。对于支持一个球形凸体 $C \subset S^d$ 的半球 $G$，我们定义 ${\rm width}_G(C)$ 为包含 $C$ 的形式为 $G \cap H$ 的最窄弓形或弓形的厚度。如果对于每个支持 $C$ 的半球 $G$，${\rm width}_G(C) =w$，我们就说 $C$ 是一个常宽度为 $w$ 的体。我们展示了这些体的属性。特别地，我们证明了任何在 $S^d$ 上的常宽度为 $w$ 的球形体 $C$ 的直径是 $w$，并且如果 $w < \frac{\pi}{2}$，那么 $C$ 是严格凸的。此外，我们正在检查常宽度和常直径的球形体何时重合。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何定义和理解在\[ S^d \]上的常宽球体？
• 如何确定一个球体是否具有常宽，并且其常宽是多少？
• 常宽球体的直径与其常宽之间有何关系？
• 常宽球体是否一定是严格凸的？
• 常宽球体和常直径球体之间有何联系？
• 在\[ S^d \]上，常宽球体和常直径球体是否等价？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 球面几何与凸体的性质：
   • 球面几何是研究球面上点、线、面之间关系的数学分支，它在数学、物理和工程领域都有广泛的应用。
   • 球面凸体作为球面几何中的重要概念，其性质的研究有助于理解球面上形状和结构的复杂性。
2. 常宽体的定义与研究：
   • 常宽体是指在球面上具有恒定厚度的凸体，这类几何体的研究有助于深入理解球面凸体的几何特性。
   • 常宽体的研究不仅涉及数学理论，还与实际应用相关，例如在设计具有特定接触特性的机械部件时可能会用到。
3. 球面凸体的直径与宽度的关系：
   • 球面凸体的直径和宽度是衡量其形状的重要参数，研究这两者之间的关系有助于揭示球面凸体的内在性质。
   • 直径和宽度的关系在球面几何中可能与欧几里得空间中的情况有所不同，因此需要特别的研究。
4. 球面常宽体与常直径体的等价性问题：
   • 探讨球面常宽体是否必然是常直径体，以及这两者之间的转换关系，对于完善球面凸体理论具有重要意义。
   • 这一问题的研究可能涉及到球面几何中更深层次的性质，如球面凸体的支撑性质和边界行为。

综上所述，这篇文献的背景强调了球面几何中常宽体和常直径体的研究重要性，以及这些概念在理论发展和实际应用中的潜在价值。