WikiEdge:ArXiv-1801.01161

• 标题：Spherical bodies of constant width
• 中文标题：常宽度的球形体
• 发布日期：2018-01-03 20:44:24+00:00
• 作者：Marek Lassak, Michał Musielak
• 分类：math.MG, 52A55
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1801.01161v1

摘要：一个 $d$ 维球体 $S^d$ 的两个不同且非对立的半球 $G$ 和 $H$ 的交集 $L$ 被称为弓形。我们将 $L$ 的厚度定义为界定 $L$ 的 $(d-1)$ 维半球的中心的距离。对于支持一个球形凸体 $C \subset S^d$ 的半球 $G$，我们定义 ${\rm width}_G(C)$ 为包含 $C$ 的形式为 $G \cap H$ 的最窄弓形或弓形的厚度。如果对于每个支持 $C$ 的半球 $G$，${\rm width}_G(C) =w$，我们就说 $C$ 是一个常宽度为 $w$ 的体。我们展示了这些体的属性。特别地，我们证明了任何在 $S^d$ 上的常宽度为 $w$ 的球形体 $C$ 的直径是 $w$，并且如果 $w < \frac{\pi}{2}$，那么 $C$ 是严格凸的。此外，我们正在检查常宽度和常直径的球形体何时重合。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何定义和理解在\[ S^d \]上的常宽球体？
• 如何确定一个球体是否具有常宽，并且其常宽是多少？
• 常宽球体的直径与其常宽之间有何关系？
• 常宽球体是否一定是严格凸的？
• 常宽球体和常直径球体之间有何联系？
• 在\[ S^d \]上，常宽球体和常直径球体是否等价？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 球面几何与凸体的性质：
   • 球面几何是研究球面上点、线、面之间关系的数学分支，它在数学、物理和工程领域都有广泛的应用。
   • 球面凸体作为球面几何中的重要概念，其性质的研究有助于理解球面上形状和结构的复杂性。
2. 常宽体的定义与研究：
   • 常宽体是指在球面上具有恒定厚度的凸体，这类几何体的研究有助于深入理解球面凸体的几何特性。
   • 常宽体的研究不仅涉及数学理论，还与实际应用相关，例如在设计具有特定接触特性的机械部件时可能会用到。
3. 球面凸体的直径与宽度的关系：
   • 球面凸体的直径和宽度是衡量其形状的重要参数，研究这两者之间的关系有助于揭示球面凸体的内在性质。
   • 直径和宽度的关系在球面几何中可能与欧几里得空间中的情况有所不同，因此需要特别的研究。
4. 球面常宽体与常直径体的等价性问题：
   • 探讨球面常宽体是否必然是常直径体，以及这两者之间的转换关系，对于完善球面凸体理论具有重要意义。
   • 这一问题的研究可能涉及到球面几何中更深层次的性质，如球面凸体的支撑性质和边界行为。

综上所述，这篇文献的背景强调了球面几何中常宽体和常直径体的研究重要性，以及这些概念在理论发展和实际应用中的潜在价值。

章节摘要

这篇论文是关于常宽球体的研究，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言
   1. 定义了球体的月牙形（lune）以及球体上的凸体概念，介绍了球体的宽度定义，并提出了研究的主要问题。

1. 球面凸体的一些引理
   1. 引理1

• 描述了闭集在球面凸包中的性质。

1. 1. 引理2

• 讨论了球面凸体与支持它的半球体之间的关系。

1. 1. 引理3

• 描述了在特定条件下，球面上的点如何成为月牙形的角点。

1. 1. 引理4

• 讨论了球面上两点确定的弧上点的凸包性质。

1. 1. 引理5

• 证明了球面凸体的每个点都可以由最多d+1个极点的凸包来确定。

1. 1. 引理6

• 讨论了具有大于π/2的常宽的球面凸体的性质。

1. 常宽球体
   1. 定义了球面凸体的常宽，并讨论了其基本性质。
   2. 通过构造性的例子，展示了在三维球面上的常宽凸体。

1. 常宽球体的直径
   1. 定理1

• 证明了常宽球体在任意边界点处可以内切唯一的球体。

1. 1. 定理2

• 证明了小于π/2的常宽球面凸体是严格凸的。

1. 1. 定理3

• 证明了对于任意常宽球体和其边界上的点，都存在一个包含该球体的月牙形，其厚度等于球体的常宽。

1. 1. 定理4

• 证明了常宽球体的直径等于其常宽。

1. 常宽与常直径
   1. 定理5

• 证明了常宽球面凸体具有常直径，且如果直径大于等于π/2，则也是常宽的。

1. 1. 提出了一个开放性问题

• 是否所有直径小于π/2的球面凸体都是常宽凸体。

研究方法

这篇论文通过数学分析和几何论证，探讨了在球面上具有恒定宽度的凸体的性质。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 数学定义与性质探讨：
   • 定义了球面凸体、球面距离、球面凸包等基本几何概念。
   • 引入了球面凸体的“宽度”概念，并讨论了其与球面凸体直径之间的关系。
   • 探讨了球面凸体的“厚度”和“极点”等性质。
2. 几何论证与定理证明：
   • 利用球面几何和凸体理论，证明了球面凸体的宽度和直径之间的关系。
   • 证明了具有恒定宽度的球面凸体在任意边界点上的性质。
   • 通过构造和反证法，证明了球面凸体的某些特定几何性质。
3. 凸体的分类与特性分析：
   • 对球面凸体进行了分类，区分了严格凸体和非严格凸体。
   • 分析了不同类型球面凸体的几何特性，如光滑性和对称性。
   • 探讨了球面凸体的直径和宽度在不同维度下的表现。
4. 应用实例与案例分析：
   • 通过构造具体的例子，展示了球面凸体的宽度和直径的几何意义。
   • 分析了在特定条件下，球面凸体的宽度和直径如何决定其形状。
   • 讨论了球面凸体的这些性质在实际应用中可能的意义和作用。
5. 问题提出与猜想验证：
   • 在论文的最后，提出了关于球面凸体宽度和直径的未解决问题。
   • 通过数学证明和逻辑推理，对提出的猜想进行了验证。

这篇论文的方法论分析结果表明，球面凸体的宽度和直径之间存在密切的数学关系，且这些关系可以通过几何论证和数学定理得到严格的证明。此外，论文还探讨了这些几何性质在不同维度和条件下的表现，为理解球面凸体的几何结构提供了深入的洞见。