WikiEdge:ArXiv-1904.12761

• 标题：The graphs behind Reuleaux polyhedra
• 中文标题：Reuleaux多面体背后的图形
• 发布日期：2019-04-29 15:06:13+00:00
• 作者：Luis Montejano, Eric Pauli, Miguel Raggi, Edgardo Roldán-Pensado
• 分类：cs.CG, math.CO
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1904.12761v1

摘要：本文研究了由Reuleaux多面体产生的图。这样的图必须是平面的，3连通的，且强自对偶的。我们研究了这些条件何时足够的问题。 如果$G$是具有同构$\tau : G \to G^*$的图（其中$G^*$是唯一的对偶图），度量映射是一个映射$\eta : V(G) \to \mathbb R^3$，使得$\eta(G)$的直径为1，对于每一对顶点$(u,v)$，只要$u\in \tau(v)$，我们就有dist$(\eta(u),\eta(v)) = 1$。如果$\eta$是单射，它被称为度量嵌入。注意，度量嵌入产生了一个Reuleaux多面体。 我们的贡献有两方面：首先，我们证明任何平面的，3连通的，强自对偶的图都有一个度量映射，通过证明直径图（其顶点是$V(G)$，其边是对$(u,v)$，只要$u\in \tau(v)$）的色数最多为4，这意味着存在一个度量映射到四面体。此外，我们使用Lov\'asz邻域复杂定理在代数拓扑中证明直径图的色数正好是4。 其次，我们开发了算法，使我们能够获得所有这样的图，顶点数最多为14。此外，我们为每一个这样的图数值构造度量嵌入。从定理和这个计算证据，我们推测每一个这样的图都可以作为一个Reuleaux多面体在$\mathbb R^3$中实现。 在之前的工作中，第一作者和最后一作者描述了一种从Reuleaux多面体构造常宽体的方法。因此，从本质上讲，我们也构造了数百个新的常宽体的例子。 这与V\'azsonyi的问题，以及Blaschke-Lebesgue的问题有关。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何确定哪些图是Reuleaux多面体背后的图？
• 什么样的条件是Reuleaux多面体背后的图所必须满足的？
• 如何证明任何平面图、3-连通、强自对偶图都有度量映射？
• 如何证明直径图的色数至多为4？
• 如何开发算法来获得所有这样的图，并数值构造度量嵌入？
• 每一个这样的图是否都可以在R3中实现为Reuleaux多面体？
• 如何从Reuleaux多面体构造出恒宽体？
• 如何解决Vázsonyi问题和Blaschke-Lebesgue问题？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. Reuleaux多面体的图论基础：
   • Reuleaux多面体是一类特殊的几何形状，由一系列半径为1的球体在三维空间中相交形成。这类多面体在凸几何和离散几何中具有重要性。
   • 研究Reuleaux多面体背后的图论结构，特别是那些满足平面性、3-连通性和强自对偶性的图，对于理解这类多面体的性质至关重要。
2. 图的自对偶性和度量嵌入：
   • 自对偶图是一类特殊的图，它们可以通过一个称为对偶的映射与自身形成一一对应关系。这种映射在图论中有着广泛的应用。
   • 度量嵌入是将图的顶点映射到三维空间中，使得满足特定距离条件的映射。这种嵌入可以用来构造Reuleaux多面体。
3. Reuleaux多面体的构造与分类：
   • 构造Reuleaux多面体的一种方法是从一个满足特定条件的自对偶图出发，通过度量嵌入来实现。
   • 对这些图进行分类，并探索它们是否可以实现为Reuleaux多面体，是本文的主要研究目标之一。
4. 与Vázsonyi和Blaschke-Lebesgue问题的关联：
   • Vázsonyi问题涉及到在三维空间中寻找具有特定直径性质的点集，而Blaschke-Lebesgue问题则关注在常宽凸体类中最小化体积。
   • Reuleaux多面体与这些问题有着密切的联系，因为它们提供了一种构造具有特定几何性质的凸体的方法。

综上所述，这篇文献的背景强调了Reuleaux多面体背后的图论结构的重要性，以及如何通过图的自对偶性和度量嵌入来构造和分类这些多面体。同时，这些研究也与解决Vázsonyi和Blaschke-Lebesgue问题有着直接的联系。

章节摘要

这篇论文是关于Reuleaux多面体背后的图的研究，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言
   1. Reuleaux多边形和多面体的定义：Reuleaux多边形是半径为r的圆的交集，其顶点是这些圆的中心。Reuleaux多面体是三维空间中半径为1的球体的交集，其边界上的角点与球体中心重合。
   2. 研究动机：探讨了Reuleaux多面体在凸几何和离散几何中的重要性，以及它们与常宽体的关系。

1. Reuleaux多面体背后的图
   1. 球体多面体的定义：球体多面体是三维空间中半径为1的球体的交集。
   2. Reuleaux多面体的性质：讨论了Reuleaux多面体的边界结构，以及如何将其表示为嵌入在边界中的图。

1. 反演自对偶图
   1. 自对偶图的定义：介绍了自对偶图的概念，以及如何构建自对偶图的对偶图。
   2. 强反演自对偶图的性质：讨论了强反演自对偶图必须满足的两个性质。

1. 度量嵌入
   1. 度量映射的定义：定义了强反演自对偶图的度量映射，即满足特定条件的映射。
   2. 度量嵌入的存在性：提出了一个猜想，即每个强反演自对偶图都有一个度量嵌入，并给出了支持该猜想的定理。

1. 移除-收缩操作和D(M)的色数
   1. 移除-收缩操作的定义：介绍了一种操作，通过收缩图的边并删除某些边来简化图。
   2. D(M)的色数：证明了D(M)的色数恰好为4，这意味着存在一个度量映射到正四面体的顶点。

1. 寻找强反演自对偶图及其度量嵌入
   1. 算法描述：描述了用于从所有强反演自对偶图中构建Reuleaux多面体的计算算法。
   2. 实验结果：提供了计算证据支持每个强反演自对偶图都可以实现为Reuleaux多面体的猜想。

1. 结论
   1. 研究贡献：总结了论文的主要贡献，包括证明了任何平面3-连通强自对偶图都有一个度量映射，以及开发了用于找到这些图的算法。
   2. 未来工作：提出了未来的研究方向，包括进一步探索Reuleaux多面体的性质和应用。

研究方法

这篇论文通过研究Reuleaux多面体背后的图论性质，探讨了这些图的性质和它们与三维空间中几何体的关系。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 图论分析：
   • 研究了Reuleaux多面体背后的图必须是平面的、3-连通的和强自对偶的。
   • 证明了任何满足这些条件的图都有一个度量映射，即存在一个映射到三维空间的点集，使得图的直径为1，并且对于图的任意一对顶点，如果它们是自对偶的，则它们之间的距离为1。
   • 使用了色数理论，特别是证明了直径图的色数至多为4，这意味着存在一个映射到正四面体的度量映射。
2. 算法开发：
   • 开发了算法来生成具有特定顶点数的3-连通平面图。
   • 实现了算法来选择强自对偶图，并构建了这些图的直径图。
   • 使用了差分进化算法来数值构建这些图的度量嵌入。
3. 计算实验：
   • 通过计算实验支持了每个这样的图都可以实现为Reuleaux多面体的猜想。
   • 利用计算方法构建了数百个新的恒宽体的例子。
   • 提供了软件工具和代码，用于生成和可视化Reuleaux多面体和Meissner多面体。
4. 理论证明与猜想：
   • 提出了猜想，即每个平面3-连通强自对偶图都可以实现为Reuleaux多面体。
   • 使用了代数拓扑中的Lovász邻域复形定理来证明直径图的色数恰好为4。

这篇论文的方法论分析结果表明，通过图论和计算方法可以系统地研究和构建Reuleaux多面体，为理解和探索这类几何体提供了新的视角和工具。