WikiEdge:ArXiv-1905.06369

• 标题：When a spherical body of constant diameter is of constant width?
• 中文标题：当一个恒定直径的球体是恒定宽度的？
• 发布日期：2019-05-15 18:22:11+00:00
• 作者：Marek Lassak
• 分类：math.MG, 52A55, 82D25
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1905.06369v1

摘要：摘要：设$D$是直径为$\delta$的凸体，其中$0 < \delta < \frac{\pi}{2}$，在$d$维球面上。我们证明，只有在以下两种情况下，$D$的直径为常数$\delta$当且仅当它的宽度为常数$\delta$。第一种情况是$D$是光滑的。第二种情况是$d=2$。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 一个球面上的常直径凸体何时是常宽度的？
• 在什么情况下，一个球面上的凸体既是常直径的也是常宽度的？
• 对于二维球面，常直径凸体是否必然是常宽度的？
• 光滑的球面凸体是否总是常宽度的？
• 对于非光滑的球面凸体，常直径条件是否意味着常宽度？

背景介绍

这篇论文的背景主要集中在以下几个方面：

1. 球面几何中的凸体问题：
   • 球面几何是研究球面上点、线、面之间关系的几何学分支，它在数学、物理和工程学等领域有着广泛的应用。
   • 凸体是球面几何中一类重要的几何对象，具有许多有趣的性质和应用。
   • 球面上的凸体通常通过其直径、宽度等几何特征来描述。
2. 常宽凸体与常直径凸体的关系：
   • 常宽凸体是指在球面上，所有支持它的半圆面所确定的宽度都相等的凸体。
   • 常直径凸体是指在球面上，任意两点之间的最大距离（直径）相等的凸体。
   • 研究常宽凸体与常直径凸体之间的关系，有助于深入理解球面几何中凸体的性质。
3. 球面凸体的分类与性质：
   • 球面上的凸体可以根据其是否光滑、是否严格凸等性质进行分类。
   • 光滑凸体的边界点没有尖锐角，而严格凸体的边界上不包含任何弧段。
   • 研究不同类型凸体的性质，对于解决球面几何中的一些基本问题具有重要意义。
4. 球面几何在其他领域的应用：
   • 球面几何在天文学、地球科学、导航和通信等领域有着广泛的应用。
   • 例如，在天文学中，球面几何可以用来描述天体的位置和运动；在地球科学中，可以用来分析地球的磁场和重力场。
   • 球面凸体的性质研究，对于这些领域中的一些实际问题具有指导意义。

综上所述，这篇论文的背景强调了球面几何中凸体的分类、性质以及它们之间的关系，以及这些几何对象在其他科学领域的应用价值。

章节摘要

这篇论文是关于球面几何中常宽和常直径凸体的研究，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言

• 论文讨论了球面几何中凸体的常宽和常直径的概念。
• 引入了球面凸体的定义，包括球面距离、球面凸体、球面宽度等概念。

1. 球面几何基础

• 定义了单位球面、子球面、大圆、对极点等基本几何概念。
• 讨论了球面凸体的性质，包括凸体的边界、光滑点和锐角点。
• 介绍了球面凸体的宽度和直径的定义。

1. 常直径球面凸体

• 提出了常直径球面凸体的定义，并讨论了其性质。
• 证明了常直径凸体是严格凸的。
• 证明了在二维球面上，任意两个直径弦必定相交。

1. 常直径与常宽度的关系

• 证明了在二维球面上，常直径凸体等价于常宽度凸体。
• 讨论了在高维球面上，常直径凸体与常宽度凸体的关系。

1. 结论

• 论文总结了在二维球面上，常直径凸体与常宽度凸体是等价的。
• 提出了对于非光滑的常直径凸体，其是否为常宽度凸体的问题仍然是一个开放性问题。

研究方法

这篇论文通过数学证明和几何分析，探讨了在球面上具有恒定直径的凸体是否也具有恒定宽度的问题。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 数学定义和概念回顾：
   • 回顾了球面几何中凸体的基本概念，包括球面凸体、直径、宽度、球面距离等。
   • 定义了球面上凸体的直径和宽度，并讨论了它们之间的关系。
2. 几何性质的证明：
   • 证明了如果一个凸体在球面上具有恒定直径，则它必须是严格凸的。
   • 证明了在二维球面上，具有恒定直径的凸体的任意两条直径弦必然相交。
   • 证明了如果一个凸体在球面上的边界点是光滑的，并且被一个半球面支撑，则该凸体在该半球面上的宽度等于其直径。
3. 主要定理的证明：
   • 证明了在球面上的光滑凸体，如果具有恒定直径，则必然具有恒定宽度。
   • 证明了在二维球面上，具有恒定直径的凸体必然具有恒定宽度。
   • 讨论了这些结果对于非光滑凸体和直径小于π/2的情况的适用性。
4. 极体和支撑半球面的关系分析：
   • 利用极体的概念，建立了支撑半球面、凸体边界点和直径弦之间的一一对应关系。
   • 通过几何构造和分析，证明了对于二维球面上的凸体，每个支撑半球面都唯一确定一条直径弦。

这篇论文的方法论分析结果表明，在球面上具有恒定直径的凸体在特定条件下（如光滑性或二维性）也具有恒定宽度，这为理解球面几何中凸体的性质提供了新的视角。