WikiEdge:ArXiv-1910.10248

• 标题：Uniqueness Results for Bodies of Constant Width in the Hyperbolic Plane
• 中文标题：在双曲平面中的常宽体的唯一性结果
• 发布日期：2019-10-22 21:59:04+00:00
• 作者：M. Angeles Alfonseca, Michelle Cordier, Dan I. Florentin
• 分类：math.MG, 28A75, 51M09, 51M10, 51M25, 51F99, 52A38, 52A55, 53A35
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1910.10248v1

摘要：遵循Santal\'{o}的方法，我们证明了在给定测地线族上，常宽体、常投影长度或常截面长度的圆盘有几种特性。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 在双曲平面中，是否存在两个不同的凸体具有相同的投影（或截面）？
• 在双曲平面中，一个具有恒定投影或截面的凸体是否一定是一个圆盘？
• 在双曲平面中，一个具有恒定宽度的凸体是否具有恒定的投影长度？
• 在双曲平面中，一个具有恒定宽度的凸体是否具有恒定的截面长度？
• 在双曲平面中，一个凸体的宽度与其在给定家族的测地线上的投影长度是否捕捉了不同的信息？
• 在双曲平面中，具有恒定宽度的凸体是否具有恒定的投影长度？
• 在双曲平面中，如何定义一个凸体的支撑函数？
• 在双曲平面中，如何唯一地从投影长度重构一个凸体？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 几何层析成像在双曲平面中的应用：
   • 几何层析成像是研究如何从低维信息（如截面或投影的面积）重建凸体的主要问题之一。
   • Aleksandrov定理表明，在欧几里得空间中，一个原点对称的凸体可以通过其投影的(n-1)维体积唯一确定。
   • 本文关注的是双曲平面H2中的重建问题，特别是唯一性问题，即是否存在两个具有相同投影（或截面）的凸体K和L。
2. 双曲平面中常宽体的研究：
   • 在双曲空间中，常宽体的概念与欧几里得空间不同，例如，双曲平面中的常宽体不一定在每条线上都有恒定的投影长度。
   • 文献中已经研究了双曲空间中的常宽体，并建立了一些与欧几里得结果相似的性质。
   • 本文通过研究双曲平面中凸体的截面或投影，来研究常宽体的性质。
3. 双曲平面中凸体的截面和投影：
   • 研究了双曲空间中凸体的截面问题，与Busemann-Petty问题相关。
   • 本文特别考虑了通过给定点的所有线上的截面或投影来研究常宽体。

综上所述，这篇文献的背景强调了在双曲平面中，从低维信息重建凸体的问题，以及常宽体在双曲几何中的独特性质和应用。

章节摘要

这篇论文是关于双曲平面中恒宽体的唯一性研究，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言
   1. 几何层析学中的主要问题之一是从定量的低维信息（如截面或投影的面积）重建凸体。Aleksandrov定理是该领域的一个主要结果，证明了在Rn中，一个原点对称的凸体可以通过其投影的(n-1)维体积唯一确定。

1. 定义和符号
   1. 论文在双曲平面H2的Poincaré圆盘模型和Poincaré上半平面模型中交替工作。定义了双曲平面的一些基本事实，例如两个点之间存在唯一的测地线，以及两种模型都是保角的。

1. 辅助引理
   1. 论文陈述了一些关于双曲平面中凸体及其正交投影的基本度量事实。例如，一个凸体等于包含它的所有半平面的交集。

1. 唯一重建结果
   1. 论文证明了圆盘在H2中可以通过以下任意两个属性唯一表征：
   • 原点对称性。
   • 恒宽。
   • 通过给定点的所有线上的恒定投影长度。
   • 通过给定点的所有线上的恒定截面长度。

1. 附录
   1. 论文展示了一个双曲Reuleaux三角形具有恒宽但不是恒定的截面和投影长度。

研究方法

这篇论文通过在双曲平面上研究凸体的几何特性，探讨了常宽体、常投影长度和常截面长度的性质。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 几何特性定义与符号建立：
   • 在双曲平面H2上定义了凸体、常宽体、常投影长度和常截面长度等基本概念。
   • 引入了双曲平面的Poincaré圆盘模型和上半平面模型，以及相关的符号和术语。
2. 凸体的几何性质分析：
   • 利用双曲几何中的角度、垂直性和支撑双曲线等性质，分析了凸体的边界和支撑双曲线。
   • 研究了常宽体的边界上所有法双曲线都是双法线的性质。
   • 通过凸体的直径和最大宽度之间的关系，探讨了凸体的几何特性。
3. 辅助引理的证明：
   • 证明了凸体可以表示为包含它的所有半平面的交集。
   • 通过构造具体的例子，展示了在双曲平面上，具有相同投影长度的非全等凸体的存在。
   • 利用Santaló引理，证明了常宽凸体的任意两条法线在凸体内部相交。
4. 主要定理的证明：
   • 证明了如果一个凸体是原点对称且具有常宽，则它必然是一个圆盘。
   • 证明了如果一个凸体具有常宽，并且所有通过原点的双曲线上的投影长度都相等，则它必然是一个圆盘。
   • 探讨了在双曲平面上，常宽体不一定具有常投影长度的性质，这与欧几里得平面的情况不同。
   • 通过反例，展示了即使在双曲平面上，具有常宽的凸体也可能不具有常投影长度。
5. 双曲平面上的特殊构造：
   • 构造了具有常宽但不同投影长度的双曲Reuleaux三角形。
   • 通过计算，展示了双曲Reuleaux三角形的宽度和在特定双曲线上的投影长度。
   • 讨论了如何通过微扰圆盘构造具有常宽但投影长度不恒定的C1光滑体。

这篇论文的方法论分析结果表明，在双曲平面上，圆盘是唯一满足常宽和常投影长度的凸体，这一发现对于理解双曲几何中的凸体特性具有重要意义。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 双曲平面中常宽体的唯一性结果：论文通过Santaló的方法证明了在双曲平面中，满足常宽、常投影长度或给定族的测地线上的常截面长度的凸体的多个特征化。
   1. 定理 4.1：如果一个C1光滑的凸体K是原点对称的并且具有常宽，则K是一个圆盘。
   2. 定理 4.4：如果一个C1光滑的凸体K包含原点在其内部，并且所有通过原点的测地线上的投影长度都是常数，则K是一个圆盘。
   3. 推论 4.5：如果一个凸体K具有常宽，包含原点在其内部，并且所有通过H0的截面长度都是常数，则K是一个圆盘。
   4. 定理 4.7：如果一个凸体K包含原点在其内部，并且所有通过H0的测地线的截面和投影长度都是常数，则K是一个圆盘。
2. 双曲投影与欧几里得投影的区别：论文指出，在双曲平面中，常宽体的投影长度和宽度是两个不同的信息来源，这与欧几里得平面不同。
   1. 命题 4.2：证明了常宽体的最大投影长度等于其宽度，并且仅在体的法线场中达到。
   2. 命题 4.8：展示了知道一个凸体在Hp中的正交和非正交投影的长度可以唯一确定该体。
3. 双曲Reuleaux三角形的常宽性质：论文展示了一个具有常宽但非恒定截面和投影长度的双曲Reuleaux三角形。

这些结论为理解双曲平面中凸体的几何特性提供了重要的见解，并且指出了圆盘在这些特性中的独特地位。