WikiEdge:ArXiv-2004.10865

• 标题：Body of constant width with minimal area in a given annulus
• 中文标题：在给定环形中具有最小面积的常宽体
• 发布日期：2020-04-22 21:11:34+00:00
• 作者：Antoine Henrot, Ilaria Lucardesi
• 分类：math.MG, math.OC, 52A10, 49Q10, 49Q12, 52A38
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2004.10865v2

摘要：在本文中，我们解决了以下形状优化问题：在预设定的常宽度和内半径的集合中，寻找面积最小的平面域。在文献中，这个问题被归因于Bonnesen，他在文献{BF}中提出了这个问题。在当前的工作中，我们为每一个宽度和内半径的选择提供了问题的完整答案，给出了最优集合的明确特征。这些最优集合是特定的Reuleaux多边形。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何在给定的圆环中找到具有最小面积的等宽体？
• 对于不同的宽度和内半径选择，最优集合的显式特征是什么？
• 如何证明Bonnesen关于在给定圆环中最小化面积的猜想？
• Reuleaux多边形在等宽体中最小化面积问题中的作用是什么？
• 如何描述具有给定内半径的等宽体的最优形状？
• 如何证明关于等宽体最小面积问题的猜想，并提供更精确的结果？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体的几何特性：
   • 常宽体（也称作欧拉体或Reuleaux体)是一类在每个方向上具有相同宽度的几何形状，这类形状在数学和工程学中具有重要的应用。
   • 这类形状因其独特的几何性质，如在给定宽度下最小化面积的问题，而受到广泛关注。
2. 面积最小化问题的历史：
   • 历史上，Blaschke-Lebesgue定理是关于常宽体中面积最小化问题的一个著名结果，它表明Reuleaux三角形在所有常宽体中具有最小的面积。
   • 该问题由Bonnesen提出，并在文献[3]中进行了讨论，但之前没有给出完整的解答。
3. 给定内半径和宽度的优化问题：
   • 本文研究了在给定内半径和宽度的条件下，寻找具有最小面积的平面域的问题。
   • 这个问题在数学优化和几何分析中具有挑战性，因为它涉及到在特定约束条件下寻找最优几何形状。
4. Reuleaux多边形的特性：
   • Reuleaux多边形是一类特殊的常宽体，其边界由圆形弧段组成，这些弧段的中心位于边界点。
   • 这类多边形在解决最小化问题时具有特殊的重要性，因为它们在满足给定宽度和内半径的条件下，可能形成最优解。

综上所述，这篇文献的背景强调了在给定几何约束下，寻找具有最小面积的常宽体的数学问题，以及这类问题在理论和应用中的重要性。

章节摘要

这篇论文是关于在给定的圆环内寻找具有最小面积的等宽体的研究，主要内容包括：

1. 引言：
   • 等宽体（也称为欧拉体)是一类有趣的几何对象，有许多文献专门研究它们。
   • 著名的Blaschke-Lebesgue定理表明，在所有等宽体中，Reuleaux三角形的面积最小。
   • 作者提出了一个与等宽体相关的优化问题：在给定的圆环内，寻找具有规定等宽和内半径的平面域，使其面积最小。

1. 预备知识与Blaschke变形：
   • 定义了凸体、等宽和内半径的概念，并证明了最小化问题的存在性。
   • 回顾了Reuleaux多边形的定义，并介绍了Blaschke变形的概念。

1. 刚性形状：
   • 引入了刚性形状的概念，即不能通过Blaschke变形减小面积的形状。
   • 定义了极值弧和簇的概念，并给出了刚性形状的特征。

1. 证明定理1.2和命题1.4：
   • 证明了在Reuleaux多边形类中面积最小化问题有解，并描述了最优形状。
   • 证明了当内半径r在特定区间内变化时，最小面积A(r)是连续的，并且最优形状也随之连续变化。

研究方法

这篇论文通过数学建模和优化方法，解决了在给定圆环中寻找具有最小面积的常宽体的问题。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 数学建模：
   • 定义了凸体、宽度、内半径等几何概念，并引入了Reuleaux多边形的数学描述。
   • 引入了Blaschke变形的概念，这是一种在保持凸体常宽性质不变的条件下，连续改变凸体形状的方法。
   • 定义了“刚性形状”，即不能通过Blaschke变形减小面积的Reuleaux多边形。
2. 优化方法：
   • 利用Blaschke变形的性质，提出了寻找最小面积凸体的优化策略。
   • 通过分析Reuleaux多边形的变形，建立了面积的一阶形状导数，用于指导优化过程。
   • 证明了在给定的圆环中，最小面积的常宽体可以通过一系列特定的Reuleaux多边形来逼近。
   • 利用了变分法中的直接方法，证明了最小化问题的解的存在性。
3. 几何分析：
   • 详细分析了Reuleaux多边形的几何特性，包括边界弧长、角度等。
   • 利用三角函数和几何关系，推导出了描述Reuleaux多边形边界弧长的公式。
   • 通过几何构造和角度分析，确定了刚性形状的参数化表示。
4. 连续性和最优性证明：
   • 证明了当内半径r在特定区间变化时，最小面积函数A(r)是连续的。
   • 利用刚性形状的性质，证明了在给定圆环中最小化面积问题的解是唯一的。
   • 通过分析Reuleaux多边形的连续变形，证明了最优形状随内半径r连续变化。

这篇论文的方法论分析结果表明，对于给定的圆环，存在一个唯一的最小面积常宽体，该常宽体可以由一系列特定的Reuleaux多边形精确描述，并且随着内半径的变化，最优形状连续变化。